Quod Erat Demonstrandum

2012/09/21

內接長方形

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 2:12 下午
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1. 簡單老題

這裡有一道簡單的老題:

在一個固定圓內,我們可以繪畫不同大小的圓內接長方形,比如

又或是

問:圓內接長方形的面積,何時最大?

2. 直觀解答

直觀地,當圓內接長方形是正方形時,似乎其面積最大。

利用動態幾何軟件,在中學生面前展示,由「極端情況」:

慢慢拖動到另一個「極端情況」:

可以看到面積由零,一路變大;之後,一路縮小,最後到零。

這樣,面積連續地變化的過程,同學或可「感受」到長方形必在某刻,到達其面積最大的位置;

由圓形的對稱性質,同學或可「感受」到長方形到達面積最大的位置,正是「中間」位置:

(圖中斜線,其方程為 y=x)亦即正方形也。

當然,上述只是直觀地說明。

修數學延伸課程的同學,其實可以利用微分法,輕易得出「當圓內接長方形是正方形時,面積最大」這結果。

3. 用不等式

利用以下不等式,也可解之。

對於實數 x,y,我們一定有

xy\le \frac{x^2+y^2}{2}

因為

(x-y)^2

一定是非負,即

(x-y)^2 \ge 0

x^2+y^2-2xy\ge 0

xy\le \frac{x^2+y^2}{2}

不難看出,當 x=y 時,上述不等式變成等式:xy= \frac{x^2+y^2}{2}

逆向地,如果有 xy= \frac{x^2+y^2}{2},即 x=y

好了,設長方形右頂點為 P(x,y),見下

則長方形面積為

A=4xy

(當中的 x,y 非負)

由上述不等式,得

xy\le \frac{x^2+y^2}{2}

亦即是說

A\le 2(x^2+y^2)

但由畢氏定理,x^2+y^2,其實就是圓半徑 r 的平方,即

A\le 2r^2

亦即是說,長方形的最大面積,就是 2r^2

何時達到最大面積?由上述不等式,我們知道當

x=y

時,不等式的等號成立。

x=y,就是代表圓內接長方形是正方形時。

4. 橢圓情況

稍為推廣,如果考慮橢圓內接長方形:

何時最大?仍是當它是正方形的時候嗎?

直觀地,好像不是。

只要考慮一下「極端」的橢圓,看看以下兩圖:

似乎上圖的正方形比下圖的長方形小得多。

因為今天廣東省深港市的中學數學課程已沒有橢圓這個課題,故我略略談一下:

考慮中心在原點的橢圓形,見下

若它交正 x-軸於 (a,0),交正 y-軸於 (0,b)

則在橢圓上任何一點 P(x,y),必有

b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2

由上述不等式,考慮兩個實數 bxay,得

(bx)(ay)\le \frac{b^2x^2+a^2y^2}{2}

abxy\le \frac{a^2b^2}{2}

xy\le \frac{ab}{2}

而橢圓內接長方形面積是 4xy,故橢圓內接長方形的最大面積是

4\times \frac{ab}{2}=2ab

何時最大?由上述不等式,即是當

bx=ay 時,亦即當

\frac{y}{x}=\frac{b}{a} 時。

上式給了啟示,我們可以容易地在圖像上找出 P(x,y) 的位置使面積最大,見:

其實,橢圓不過是圓形的某方向的「投影」,所以不難想像所謂最大面積的位置在哪裡:

習題

試用微分法證明上述文中的兩個結論。

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