Quod Erat Demonstrandum

2012/09/25

常犯錯誤

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 11:55 上午

數學不是「計數」,不是「代公式」而已,常識也。

只要上上網,中學的所謂代數運算習題,不花數秒便可「解決」;故不少人覺得,在中學的數學習題「玩」繁複運算,是愚蠢可笑的;訓練學生成為「計數機械人」,更是走錯方向,終究徒然。

雖然學者嘲笑數學授課員「不懂數學」;可是,除非有「翻天覆地」的課程和考評(甚至文化上的)轉變,否則深港市授課員和學生,主要也是花時在「計數」和「代公式」等機械操練上。

以下是我班中三同學第一次測驗偶拾:

帶分數 4\frac{3}{4} 和代數表達式 x\frac{3}{4} 的分別,很早已向學生強調。

大部分學生也看到

4\frac{3}{4}=4+\frac{3}{4}

x\frac{3}{4}=x\times \frac{3}{4}

可是在化簡的過程中,只要有相同的東西,學生便刪掉它。

對這樣錯誤,我只強調:「盡量不使用帶分數。」

上面是「正常」的錯誤。

對這樣錯誤,我只強調:「把分式用加號連結。」

即是

2a^2-\frac{a}{3}+\frac{2a}{2}

=2a^2+\frac{-a}{3}+\frac{2a}{2}(分式用加號連結)

=2a^2+\frac{-2a}{6}+\frac{6a}{6}

=2a^2+\frac{-2a+6a}{6}

=2a^2+\frac{-4a}{6}

=2a^2-\frac{2a}{3}

更進一步,如果分子涉及複雜的多項式,先加括弧:

2a^2-\frac{3a^2-a+1}{3}

=2a^2-\frac{(3a^2-a+1)}{3}(加括弧)

=2a^2+\frac{-(3a^2-a+1)}{3}(加號連結)

=\frac{6a^2}{3}+\frac{-(3a^2-a+1)}{3}

=\frac{6a^2-(3a^2-a+1)}{3}

=\frac{6a^2-3a^2+a-1}{3}

=\frac{3a^2+a-1}{3}

以下都是學生常犯的錯誤,授課員一定有提及,只是「老師一小步,學生一大步」,對不少學生,這些都是難題,要慢慢地反覆地才可建立。

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

以下一個錯法對我來說是特別的,第一次見:

10.

相信陸續有來,同學仔和我也要一同努力面對。

2 則迴響 »

  1. 能力較差的學生,一做分數題就「精神錯亂」,亂做一通。陪做幾十題,逐題解都係唔多得,教到好灰心。
    我迫我啲學生用假分數,做代數題時,帶分數和小數一律禁用。

    迴響 由 chestnutgirl — 2014/01/12 @ 6:01 下午 | 回覆

  2. 从张益唐论文不能发表评数学批判家王晓明的批判艺术

    开场白:

    张益唐的论文因为王晓明的搅局,至今没有发表,这是因为王晓明在2014年3月20日写信给美国【数学年刊】编辑部,阻止了原计划在5月出版的179-3期杂志,不能按照正常时间出版。如今已经12月中旬,以后是否能够发表暂且不说,仅仅一个无名之辈就让大名鼎鼎的【数学年刊】改变计划,足以证明王晓明出手不凡。王晓明是怎么样的批评,能够让世界上数一数二的杂志接受批评呢?

    也有人说张益唐是遭到嫉妒,木秀于林风必摧之,如果张益唐文章没有致命错误,什么妖风可以摧毁呢?

    如果王晓明是一个平庸之人,他的意见都是无稽之谈,没有思想的利器,他给【数学年刊】的信件只会成为笑柄。这是因为在所有学科中,数学的证明最严格,可以做到没有任何歧义,可以做到让全世界数学家都可以接受的严密程度。

    是什么原因让王晓明去挑战全世界最权威的数学家已经认可的理论?王晓明难道就是一个数学无赖存心与科学界捣蛋吗?这样做王晓明可以得到什么呢?

    一定是这个命题的魅力,永不凋谢的青春产生神秘的诱惑,在她的入口处,正向在地狱的入口处一样。张益唐没有通过凯旋门,而是走到了地狱。

    第一刀:

    王晓明杀入张益唐的第一刀是什么?

    数学批判一般有三个批判点,第一是论(命)题批判,第二的论据批判,第三是论证方法批判。

    对张益唐结论的杀伤力无疑最强烈,这是因为,否定了结论就彻底否定了整个工作。

    张益唐公式:

    一开始就让人感觉丑陋,不等式左边表明一种性质,下确界是针对一组数据,极限针对函数和序列,而右边70000000是说左边的素数对,好了,破绽就在这里。小于70000000的素数对是一个“集合概念”。集合概念反映的是集合体,集合体有什么不对吗?

    概念的种类:

    1,单独概念和普遍概念

    a,单独概念反映独一无二的概念,例如,上海,孙中山,,,。它们反映的概念都是独一无二的。

    b,普遍概念,普遍概念反映的是一个对象以上的概念,反映的是一个“类”,例如:工人,无论“石油工人”,“钢铁工人”,还是“中国工人”,“德国工人”,它们必然地具有“工人”的基本属性。

    2,集合概念和非集合概念。

    a,集合概念反映的是集合体,例如“中国工人阶级”,集合体的每一个个体不是必然具备集合体的基本属性,例如某一个“中国工人”,不是必然具有“中国工人阶级”的基本属性。

    b,非集合概念(省略)。

    大家明白了吗?张益唐如果要说不超过70000000的素数对具有无穷性质,必须对所有小于70000000的素数对逐一证明,就是要使用完全归纳法:

    1)相差2的素数对(这是一个类)无穷。

    2)相差4的素数对(类)无穷。

    3)相差6的素数对(类)无穷。

    …….

    35000000)相差7000000的素数对(类)无穷。

    张益唐没有确定相差不超过70000000的素数对都是无穷的。张益唐等于什么也没有说。

    第二刀

    什么是判断?判断就是对思维对象有所断定的形式。

    判断的基本性质:

    1,有所肯定或者有所否定。

    2,判断有真假。

    张益唐没有确定任何一个类是无穷或者有限,张益唐什么也没有说。就是说,张益唐的证明违背了一个判断的基本要求,暂且不说对与错。就连一个明确的判断都没有。

    数学证明就是要求对数学对象给予一个明确的判断。

    第三刀

    就算张益唐想说:“相差不超过70000000的素数对至少有一对是无穷的”。这个也没有做到一个定理的要求啊?张益唐是说“有些A是B”,这是一种“特称判断”这样的说法不能作为数学定理,因为数学定理要求明确的“全称判断”,就是“一切都A是B”。特称判断在日常生活中使用没有问题,甚至在其它学科也没有问题,例如物理学。唯独在数学证明中特称判断无效。

    第四刀

    一个定理陈述一个给定类的所有数学元素不变的关系,适用于无限大的类,在任何时候都无区别成立。张益唐公式左边的变量部分输入一个值,得出结果是需要区别的,就不是定理了,这些结果,人们无法知道,张益唐自己也无法知道:“无穷还是有限”。或者说右边70000000以内的任何一个值对应左边是什么?是无法知道的。

    第五刀

    特称判断为什么不能作为定理?因为特称判断暗含“假定存在”的非逻辑前提,数学证明是严禁使用非逻辑前提,在逻辑学也不允许引入非逻辑前提。这是我们数学中常常发现一个显然的事实却不能成为定理的困难。如果可以引入非逻辑前提,那么数学难题就不会有这么多了。

    小节

    浪漫情怀不能代替严肃的证明,迷信和伪科学让人们不动脑筋就可以欢欣鼓舞,迷信迎合人们懒得思考的需求。而科学是在逐一消除错误的基础之上发展起来的。张益唐的错误工作被否定,私人感情当然受到伤害,但是这种否证公认为科学的核心。

    迴響 由 王晓明 — 2014/12/17 @ 9:14 下午 | 回覆


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