Quod Erat Demonstrandum

2012/10/07

Core Math: 3D 題 (1)

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 7:08 上午

這是一道簡單的 core mathematics 習題,參考下圖

已知 A,B,D 在平面 P 上,CD \perp P

a=BC,b=CA,c=AB,h=CD,求 \triangle ABCP 的夾角。

問學生如何入手,有的說在 AB 上找 mid-point。

這也是很「自然」的想法,但不一定對。

我們要找的未必是中點,而是一點 E

使 CE \perp AB

那麼,「DE 也垂直 AB 了」。

於是 \triangle ABCP 的夾角就是 \angle CED 了。

但為何「DE 也垂直 AB 了」?

有云:「好直觀呀,『就咁由上面望落去就睇到』囉。直角 \angle CEA 『轉落去』平面 P 上 ,咪即係 \angle DEA 囉。」

堂上,梁同學質疑以上說法。比如,連 DB,見下:

這樣,『就咁由上面望落去』 \angle CBE,就『睇到』\angle DBE,但 \angle DBE 未必等於 \angle CBE(只要想一想所有點固定,C 點沿 CD 上下移動,那麼 \angle CBE 不斷變動,但 \angle DBE 始終不變),那麼『就咁由上面望落去』如何確保 \angle DEA 也是直角?

是的,我唯有說:證一證明吧。

參考上圖,我們希望證明:DE^2+EB^2=BD^2

DE^2+EB^2

=CE^2-CD^2+EB^2(因 \triangle CDE 是直角三角形)

=BC^2-CD^2(因 \triangle CEB 是直角三角形)

=BD^2(因 \triangle BCD 是直角三角形)

證畢。

如果是修 M2 的同學,可利用向量處理:

\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{AB}

=(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE})\cdot \overrightarrow{AB}

=0(因 DC \perp ABCE \perp AB

證畢。

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