Quod Erat Demonstrandum

2012/12/14

溫習截距定理

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:11 下午

截距定理(Intercept Theorem)也在「演化」?多年前教中三同學:

設有三條平行線

johnmayhk-intercept-theorem-1

加兩條截線

johnmayhk-intercept-theorem-2

如圖所示,線段長度分別是 a,b,c,d,則有

a:b=c:d

今年再教,才知教科書的截距定理版本是:

johnmayhk-intercept-theorem-3

c=d

無所謂啦,橫豎特區公開試對寫理由的要求又不高,嚴格幾何證明又不是主力。不過有時間要再閱讀《幾何原本》。

和同學溫書,我問(見下圖):如果 AC//MN//BD,且 AM=MB,則有 CN=ND,這是截距定理;

johnmayhk-intercept-theorem-4

但如果只知 AC // BD 及 AM = MB 及 CN = ND,那麼 MN 一定平行於 AC 嗎?

(其時沒有誰理會這問題,正常不過,這類和考試沒多大關係的東西,有誰理會?)

初中同學可以先停步想一想。

好了,又是運用初中數學的時候,證法應有漏洞,煩請指正。

johnmayhk-intercept-theorem-5

參考上圖,作 AP 平行 CD,其中 P 在 BD 上。設 O 為 A 和 P 之中點。
連 MO 及 ON。(這裡注意,我懶沒有把圖畫好。其實 MO 和 ON 可能是折線,不一定是同一條線)
考慮 \triangle ABP,由中點定理(mid-point theorem),知 MO // BP。
又因 APDC 是平行四邊形,故 AP = CD,亦即 OP = ND。
即有 OP = ND 及 OP // ND;於是 OPDN 也是平行四邊形。
故 ON // PD,所以 MO 及 ON 也平行於 BD;亦即 MON 是直線,且 MN // AC。

johnmayhk-element-20121109
Oops, 原來當天寫錯,是 Elements 不是 Element -.-

4 則迴響 »

  1. 不知老師有没有一個初中的方法解以下問題?
    http://gogeometry.blogspot.hk/2012/12/problem-831-quadrilateral-diagonal.html

    迴響 由 EMK — 2012/12/14 @ 2:02 下午 | 回覆

  2. 請問老師能否想到一個初中方法解以下問題?
    http://gogeometry.com/school-college/p831-quadrilateral-diagonal-midpoint-parallelogram.htm

    迴響 由 EMK — 2012/12/15 @ 10:38 上午 | 回覆

    • Sorry for late reply.

      Try to prove OA = OC.
      Suppose OA > OC, mark a pt. E on OA s.t. OE = OC.
      Then, EBCD is a //gram.
      Hence, ∠BED = ∠BCD,
      thus ∠BED = ∠BAD which is impossible
      (by considering ext. ∠ of △)
      Similarly, suppose OA < OC, impossible conclusion drawn,
      leaving only OA = OC being possible.

      迴響 由 johnmayhk — 2012/12/17 @ 8:56 下午 | 回覆

      • 我也看過這個證法,但因為初中應該不會這種contradiction的證法,
        所以才想找一種用香港初中所學的證法,這樣才能在課堂上討論。

        迴響 由 EMK — 2012/12/19 @ 1:56 下午


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