Quod Erat Demonstrandum

2013/02/27

錯在哪裡之二項式定理

Filed under: Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:33 下午

在 M1 或 M2 的課,我們知道:

(a+b)^n=a^n+C_1^na^{n-1}b+\dots +b^n

代入 a=b=1,n=0,得

(1+1)^0=1^0+1^0

2^0=1+1

\therefore 1=2

6 則迴響 »

  1. attempt:
    terms after $a^n$ should not appear when $n = 0$.

    迴響 由 Justin — 2013/02/28 @ 1:18 上午 | 回覆

  2. 0C1 represent what??

    迴響 由 jeffrey yan — 2013/02/28 @ 7:43 下午 | 回覆

  3. $a^n + … + b^n$ 得一個 term…

    迴響 由 Myst — 2013/02/28 @ 10:23 下午 | 回覆

  4. 將二項式定理寫為
    (a+b)^n=a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+…+b^n
    就出現0 次有兩項的問題。

    如果寫為:
    (a+b)^n=

    n
    ΣC(n,k)*a^(k-1)*b^k
    k=0

    0次就只有一項,
    但是會遇到
    (1-1)^0=C(0,0)*1^0*(-1)^0=1
    必須用到0^0=1。
    為了避開這個問題,
    數學家就限制n>=1。
    把巴斯卡三角形砍頭。
    但即使如此,
    展開(1+0)^1時,
    仍要用到0^0=1。
    為了閃躲0^0=1,
    數學式子寫得複雜,
    而且加了一堆限制,
    徒增困擾。
    這是數學界不願面對的問題,
    除了定義0^0=1以外,
    無法解決。

    迴響 由 Yee — 2013/03/03 @ 10:03 下午 | 回覆

    • typo:ΣC(n,k)*a^(n-k)*b^k

      迴響 由 johnmayhk — 2013/03/04 @ 9:30 上午 | 回覆

  5. 謝謝。
    定義0^0=1,
    則二項式定理可以寫為明確精簡的式子:

    (a+b)^n=

    n
    Σ C(n,k)*a^(n-k)*b^k
    k=0

    n為非負整數,適用範圍比現在的大。

    迴響 由 Yee — 2013/03/04 @ 4:14 下午 | 回覆


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