Quod Erat Demonstrandum

2013/03/08

比例

Filed under: NSS — johnmayhk @ 5:39 下午

e.g. 1

如果

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

則一定有

\frac{a}{c}=\frac{b}{d}

嗎?

不一定,比如

\frac{0}{2}=\frac{0}{3}

不能推得

\frac{0}{0}=\frac{2}{3}

e.g. 2

如果

\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}

\frac{a}{b+c} 的值。

這是前普通數學(general mathematics)課程常見題目,今天同學或感陌生,做法見下:

\frac{a}{b+c}=k
\frac{b}{c+a}=k
\frac{c}{a+b}=k

a=k(b+c)
b=k(c+a)
c=k(a+b)

加起上述三式,得

a+b+c=2k(a+b+c) ……………… (*)

情況一:a+b+c\ne0

(*) 變成

k=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}

\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}

情況二:a+b+c=0

a=-(b+c)

\frac{a}{b+c}=-1

e.g. 3

k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

易知

k=\frac{a+c}{c+d} ……………………… (#)

同學,試證明。(可參考 e.g. 2 的方法)

修 M2 的同學,或許你也遇過以下的恆等式:

\tan x=\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}

\tan x=\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}

由 (#),我們可以得出

\tan x=\frac{1-\cos 2x+\sin 2x}{\sin 2x+1+\cos 2x}

考慮上兩式,再運用 (#),得

\tan x=\frac{1-\cos 2x+2\sin 2x}{\sin 2x+2+2\cos 2x}

更一般地

\tan x=\frac{m-m\cos 2x+n\sin 2x}{n+n\cos 2x+m\sin 2x}

當然,m,n 不一定是正整數,比如

\tan x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos 2x+\pi\sin 2x}{\pi+\pi\cos 2x+\sqrt{2}\sin 2x}

也可。

(完)

忙,不寫太多,貼圖算了。

johnmayhk0eagle-duck

圖片來源:顏冊群組「港媽 港爸」

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