Quod Erat Demonstrandum

2013/03/09

某題數算

Filed under: NSS — johnmayhk @ 9:58 下午
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某 2-mark 問題

7 項比賽,各項設有冠亞季 3 獎,共 21 個不同的得獎者。
在各項比賽的得獎者中,分別找出 1 人,共 7 人排隊。
要求當中至少有 2 名冠軍,2 名亞軍及 2 名季軍,
證明排法共 3175200 種。

johnmayhk-counting-winners

建議解法

分三情況:
「3 冠 2 亞 2 季」
「2 冠 3 亞 2 季」
「2 冠 2 亞 3 季」

考慮「3 冠 2 亞 2 季」,
先在 7 項目選 3 個,抽出當中的冠軍,共 C_3^7 種組合。
再在餘下 4 項目選出 2 個,抽出當中的亞軍,共 C_2^4 種組合。
再在餘下 2 項目選出 2 個,抽出當中的季軍,共 C_2^2 種組合。
故「3 冠 2 亞 2 季」共有 C_3^7C_2^4C_2^2 種組合。

類似地
「2 冠 3 亞 2 季」共有 C_2^7C_3^5C_2^2 種組合。
「2 冠 2 亞 3 季」共有 C_2^7C_2^5C_3^3 種組合。

故排法數目為

(C_3^7C_2^4C_2^2+C_2^7C_3^5C_2^2+C_2^7C_2^5C_3^3)\times 7!

學生解法

Method 1:C_2^7C_2^5C_2^3C_1^1\times 7!
Method 2:C_3^7C_2^4C_2^2\times 3\times 7!
Method 3:7\times 6\times 5\times 3\times 7!

上述的「一行」解答都得到在題目內已知的答案 3175200,授課員應如何給分?

解學生解

Method 1

最多學生用 C_2^7C_2^5C_2^3C_1^1\times 7! 解之,但學生卻不一定很清楚地解釋。

我問學生何解,他答:「『至少有 2 名冠軍,2 名亞軍,2 名季軍』就是『C_2^7C_2^5C_2^3』,餘下的一個獎,一定在餘下一個項目找出,即『C_1^1』,所以『C_2^7C_2^5C_2^3C_1^1\times 7!』囉。」

我問:「餘下一個項目找出的,可以是冠亞或季,不是要『乘以 3』嗎?」

學生回:「『乘以 3』會計錯 3175200 的,但為何會錯?」

授課員陳述正確解法易,但解釋不正確的解法較難,現試述之。

事實上,一般地,設有 n 個項目(n \ge 7),

以學生的解法,得

C_2^{n}C_2^{n-2}C_2^{n-4}C_1^{n-6}

=\frac{n!}{2!(n-2)!}\frac{(n-2)!}{2!(n-4)!}\frac{(n-4)!}{2!(n-6)!}\frac{(n-6)!}{1!(n-7)!}

=\frac{n!}{2!2!2!(n-7)!}

=\frac{P_7^n}{2!2!2!}

以建議的解法,得

C_3^{n}C_2^{n-3}C_2^{n-5}+C_2^{n}C_3^{n-2}C_2^{n-5}+C_2^{n}C_2^{n-2}C_3^{n-4}

=\frac{n!}{3!(n-3)!}\frac{(n-3)!}{2!(n-5)!}\frac{(n-5)!}{2!(n-7)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}\frac{(n-2)!}{3!(n-5)!}\frac{(n-5)!}{2!(n-7)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}\frac{(n-2)!}{2!(n-4)!}\frac{(n-4)!}{3!(n-7)!}

=\frac{P_7^n}{3!2!2!}+\frac{P_7^n}{3!2!2!}+\frac{P_7^n}{3!2!2!}

=\frac{P_7^n}{3!2!2!}\times 3

=\frac{P_7^n}{2!2!2!}

兩者其實是一樣。

但要經由如上的代數運算才看出來的東西對「必修數學」課程而言似乎太不「自然」。

上述說法也沒有直接解釋為何『乘以 3』是不需要的。

現在以較具體例子化解『乘以 3』的問題。

想像四個盒,上面分別寫上冠、亞、季及X。

把數字 {1,2,3,4,5,6,7},不重覆地

抽 2 個數字放在「冠」盒,共 C_2^7 種選擇;
抽 2 個放在「亞」,共 C_2^5 種選擇;
抽 2 個放在「季」,共 C_2^3 種選擇;
餘下的 1 個放在「X」,共 C_1^1 種選擇;

例如

 冠  亞  季  X
{1,2} {3,4} {5,6} {7} 

即是
從項目 1,2 找出冠軍;
從項目 3,4 找出亞軍;
從項目 5,6 找出季軍;
從項目 7 找到冠亞或季軍一人。

正因為X可以有 3 個選擇,所以

 冠  亞  季  X
{1,2} {3,4} {5,6} {7} 

其實代表著 3 個組合。

所以選擇組合共有

C_2^7C_2^5C_2^3C_1^1\times 3

然而,

我們考慮以下 3 個情況

 冠  亞  季  X
{1,2} {3,4} {5,6} {7} 
{2,7} {3,4} {5,6} {1} 
{7,1} {3,4} {5,6} {2}

代表著的 3\times 3=9 個組合,當中是有重覆的。比如當我們考慮的X為「冠軍」,即

 冠  亞  季  冠
{1,2} {3,4} {5,6} {7} 
{2,7} {3,4} {5,6} {1} 
{7,1} {3,4} {5,6} {2}

上述 3 個情況,其實是同一個組合:

 冠   亞  季
(1,2,7) {3,4} {5,6} 

又例如我們考慮的X為「亞軍」,以下 3 個情況:

 冠  亞  季  亞
{1,2} {3,4} {5,6} {7} 
{1,2} {4,7} {5,6} {3} 
{1,2} {7,3} {5,6} {4}

其實也是同一個組合

 冠   亞  季
{1,2} {3,4,7} {5,6}

考慮X為「季軍」亦然。

故此,在 C_2^7C_2^5C_2^3C_1^1\times 3 個如下的情況中

 冠  亞  季  X
{a,b} {c,d} {e,f} {g} 

每 3 個其實代表同一個組合,亦即

選擇組合共有

C_2^7C_2^5C_2^3C_1^1\times 3\div 3

C_2^7C_2^5C_2^3C_1^1\times 3\div 3\times 7!

個排法。

問題來了,如果學生答一行解:C_2^7C_2^5C_2^3,我應該相信學生明白諸如上述的考慮,還是相信學生只是看到題目中的「至少 2」「至少 2」「至少 2」及 3175200 而得出結論而已。所以我就二口二面找他傾談了。

Method 2

另一學生用 C_3^7C_2^4C_2^2\times 3\times 7!,傾談時,他的解釋不太叫我信服。

現在嘗試解釋。

現有 3 個盒,把數字 {1,2,3,4,5,6,7},不重覆地

抽 3 個數字放在第一個盒,共 C_3^7 種選擇;
抽 2 個數字放在第二個盒,共 C_2^4 種選擇;
抽 2 個數字放在第三個盒,共 C_2^2 種選擇;

比如

{1,2,3}{4,5}{6,7}

現在把「冠」、「亞」、「季」分別安排在三個盒上,

第一個盒,可以有 3 種選擇;
第二個盒,則有 2 種選擇;
第三個盒,1 種,比如

冠{1,2,3}
亞{4,5}
季{6,7}

但總選擇共有 C_3^7C_2^4C_2^2\times 3\times 2 嗎?

非也,因為有兩個盒子盛載的數字數目相同,都是 2 個,故 3\times 2 的數法中有重覆,舉例

case 1:抽出 {1,2,3} 放在第一盒,{4,5} 放在第二盒,{6,7} 放在第三盒後,安排第一二三個盒分別為 (冠,亞,季)。

case 2:抽出 {1,2,3} 放在第一盒,{6,7} 放在第二盒,{4,5} 放在第三盒後,安排第一二三個盒分別為 (冠,季,亞)。

上述兩個情況是相同的。

亦即所謂 C_3^7C_2^4C_2^2\times 3\times 2 個情況中,每兩個如上的情況,其實代表著同一個。

故共有

C_3^7C_2^4C_2^2\times 3\times 2\div 2=C_3^7C_2^4C_2^2\times 3

種組合。

問學生,他說「三個同級獎要分「冠」、「亞」、「季」三條隊,所以就要『乘以 3』。」其實又不能說他完全唔明,但又很難要求學生完全解得清楚。事實上,我所謂解釋又可以說是完全清楚的解釋嗎?

Method 3

在 Method 1 中,我們見最終答案為 =\frac{P_7^n}{2!2!2!} \times 7!

代入 n=7,得 =\frac{7!}{2!2!2!}=7\times 6\times 5\times 3 \times 7!

正是 Method 3 的解。

但學生當時是怎樣想而寫出下式?

7\times 6\times 5\times 3\times 7!

如果他說:「冠軍可以有 7 個選擇,亞軍 6 個,季軍 5 個;但冠亞季有 3 種選擇,即 7\times 6\times 5\times 3。」

你認為如何?究竟是巧合還是正確?

留給大家作為數學口試(如有)練習了。

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