Quod Erat Demonstrandum

2013/04/15

Cosine law

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:52 上午

上次談過球面上的 sine law,見

https://johnmayhk.wordpress.com/2010/10/24/a-short-m2-question/

今次補充 cosine law。

在半徑為 R,球心為 O(0,0,0) 的球面上有三角形 ABC,見下

johnmayhk-spherical-triangle

(即紅線都是大圓弧。)

\angle AOB=c'
\angle BOC=a'
\angle COA=b'

對著角 A,B,C 的邊(大圓弧)分別為 a,b,c

a=Ra'
b=Rb'
c=Rc'

R=1,則所謂球面上的 cosine law 者:

\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A
\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B
\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C

也。

證明上述公式或可作為 M2 學習的三維向量之練習。

考慮 R=1,以下的都是單位向量,設

\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}
\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}
\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}

johnmayhk-spherical-triangle

A,是 AOCAOB 兩面夾角,亦即兩面的法向量(normal vectors)之夾角,故

(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c})

=(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin c')(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|\sin b')\cos A

=(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin c)(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|\sin b)\cos A\because R=1

=\sin c\sin b\cos A\because R=1)………………. (1)

另外,

(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c})

=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c})

(同學,三維向量中,\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{d} 是相等的,如何證明?想想行列式吧。)

=\overrightarrow{a}\cdot ((\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{c})

(此乃上次介紹過的拉格朗日公式也。)

=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})

=\cos a'-\cos b'\cos c'

=\cos a-\cos b\cos c ………………. (2)

比較 (1),(2) 得

\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A

維基還有第二個 cosine law 的表達形式,自行研究吧:

http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_trigonometry

習題:若 R 不是 1,cosine law 如何?

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