Quod Erat Demonstrandum

2013/05/01

錯誤

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 7:20 下午

有些主題似乎長寫長有,其中一個是「錯誤」。

1.中五學生:

417895_10151396088373231_372128100_n

希望上述不是常見錯誤。但在解釋幾何這課題,學生常有以下問題:

A(a,b), B(c,d)

M(x,y)A,B 的中點(mid-point),

對低年級同學,他們多數知道

x=\frac{a+c}{2}y=\frac{b+d}{2}

可是,對高年級同學,尤其在軌跡(locus)這個課題上,同學往往寫出以下關係:

AM=MB \Longrightarrow \sqrt{(a-x)^2+(b-y)^2}=\sqrt{(x-c)^2+(y-d)^2}

之後錯於無聊運算。

現在數學課程沒有正式強調「邏輯」,學生未必知道諸如「充要條件」為何物。

如果 MAB 的中點,則 AM=MB;可是
如果 AM = MB,則 M 未必是 AB 的中點。

為何,看下圖,若 M 是圓心,易知 AM=MB,但 M 並非 AB 的中點。

johnmayhk-am-eq-mb

AM = MB"是"MAB 的中點"的「必要條件」,卻不是「充份條件」。

\sqrt{(a-x)^2+(b-y)^2}=\sqrt{(x-c)^2+(y-d)^2} 不保證 M(x,y) 是中點,繼續進行其他運算也沒意思了。

考慮

如果 MAB 的中點,則 M=(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})
如果 M=(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}),則 M 也是 AB 的中點。(為何?)

M=(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})"是"MAB 的中點"的「必要條件」也是「充份條件」,即「充要條件」是也,以「充要條件」作等價命題之推論吧。

2.中三學生:

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\frac{\sin x+2\cos x}{3\sin x+4\cos x} 的值,如果做多項選擇題,這學生計算

\frac{2+2(3)}{3(2)+4(3)}=\frac{4}{9}

可以得正確答案。但認為

\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{a}{b}" 推出 "\sin x=a\cos x=b",就是錯誤,也可以「不是充份條件」來描述錯誤之因由。

問題太多了,只貼貼,解卷時才詳述:

945411_10151398322138231_1737682308_n

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