Quod Erat Demonstrandum

2013/06/17

無聊寫篇

Filed under: mathematics — johnmayhk @ 4:06 下午

(只是草稿,不必認真)

《大象無形》

我們身處的「世界」是甚麼形狀?如果「世界」是指地球,那便是常識,幾歲小孩也能說出諸如「圓形」或「球體」之類的答案。但今天認為無可爭議的「常識」,對前人來說可能是匪夷所思。正如十五世紀末,意大利航海家哥倫布(Christopher Columbus)認為「世界」是球形,提出由歐洲西航到東印度群島的計劃,曾遭受抨擊:「誰會傻到相信在世界另一邊存在著和我們腳心相對的人?難道他們走路時腳後跟朝上而頭朝下嗎?」(註1)

想像一下,對「古人」來說,他們對「世界」形狀的「主流意見」是甚麼?「世界主要是平的吧,偶有凹凸彎曲;仰觀日月,它們看起來不過是圓盤,那麼人們身處的世界,或許也像圓盤吧?」要說服「古人」明白地球真的是「球」,並非一蹴而就的事。縱然到十六世紀,麥哲倫(Ferdinand Magellan)的船隊艱辛地作環球航行(麥哲倫本人卻在喪生途中,最終只有十多名船員完成他的遺志),在局部區域繪製出較準確的地圖,也難以證明地球是「球」。其實「世界是球」這個猜想在畢達哥拉斯甚或更早的年代已有,但要得到活生生的實證,恐怕要到人類真正離開地球,在外太空觀察地球,才予以肯定。補充一句,第一批由外太空觀看地圖的照片要到 1962 年才面世。(註2) 嚴格來說,地球並非完美球體,而是兩極稍平的球形。

進一步問,如果「世界」是指我們身處的「宇宙」,那麼這個「世界」是甚麼形狀?它會是個盛載著星宿萬象的長方體、球體還是別的奇怪形狀?初步想想,我們似乎無法得知答案,因為人們可以離開地球來觀察地球,卻無法離開宇宙來觀察宇宙!我不懂解答「宇宙是甚麼形狀」這個大問題,本文純粹介紹一下研究這類問題的數學工具:拓樸學(topology)的極初步概念和用語而已。

在思想宇宙形狀之前,讓我先談談地球的情況。上文提及「環球航行」,假設某人從某地,沿同一方向前行,最終返回原來起點,是否足以證明他身處之地是「球面」?不能。參考下圖,除了球面(sphere,見左圖),還有環面(torus,見右圖)甚或更多可能形狀,都可以從一點出發,沿同一方向前行,最終返回起點。

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想像一下在上述兩面生活的「扁平生物」,他們的意識只有「前後」和「左右」兩個向度,沒有「上下」(即不能飛離球面和環面),扁平生物這種活在「二維」(2-dimensional)的東西,怎樣知道自己身處之世界是何樣?環面和球面上的扁平生物都可沿任何方向自由前行,一樣可以把他附近的「風景」記錄,如麥哲倫般繪製地圖。扁平生物說不出兩者的世界有何分別。但環面和球面有著本質上的不同,簡單說就是「有洞」與「無洞」之別。對於我們這些「三維生物」當然是「一目了然」的常識;然而,對於身處其中的扁平生物,特別如果「他們」相對於龐大「世界」而言是極度渺小,他們怎樣認識?將心比心,如有比人類身處在「更高維」的「生物」,宇宙形狀對「他們」來說可能也是「一目了然」的常識,但人類自己卻難以全然參透自己身處的宇宙是甚麼模樣。「他們」怎樣向我們「解釋」?

其實扁平生物也不是完全無知。這裡介紹一個假想實驗:扁平生物在某點出發作「環球航行」,身後拖著足夠長的繩子,一端釘在起點,另一端跟著他,到他返回起點,把繩子收起。如果他生活在球面上,則繩子必可「完全收回」(假設球面沒有甚麼障礙物),即是繩圈終可收縮成一點(見下)。

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然而,設環面上最大半徑之圓為「赤道」,假如活在環面的扁平生物沿著垂直「赤道」的路徑前行,當設回起點,收繩子時,他就會發覺繩子不能縮成一點,因為繩子圍著環面的「柱身」。(見下)

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這時,他才猛然醒覺,其身處的世界和另一個扁平生物的球面世界是截然不同!順帶一提,由一個繩圈收縮到另一個繩圈也有其數學描述,稱為同調變換(homology)。在曲面(或更一般的說法:流形)上,如果每個繩圈最後都可收縮成一點,該曲面是單連通的(simple connected),球面就是單連通的。

扁平生物意識到環面和球面有本質分別已是一大躍進,然而,球面上的扁平生物仍然不能了解他們身處的世界是絕對球面,還是好像以下「無洞」曲面一般:

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其實,上面不同的曲面形狀,若以拓樸學的眼光看,都是「一樣」。為何?想像一下上圖中間的梨子其實是「泥膠」造成,現把搓揉泥膠,不難想像最後可把它變成左邊的西瓜或右邊的氣球。比較嚴格的數學說法是,上述形狀之間存在雙連續函數(continuous bijective function with continuous inverse)我們稱該兩個東西為拓樸等價(topological equivalence),稱該函數為同胚(homeomorphism)。

我們可以把泥膠戮穿,撕破再重組,一個泥膠球應該可以搓揉成「冬甩」吧?但這裡小心,同胚有著「連續變換」這個條件,而「戮穿撕破」肯定不是「連續變換」,而是「劇變」(數學人可以證明一下為何「戮穿撕破」代表不連續影射),所以球面和環面就不是拓樸等價,無論是一般觀點或拓樸學的觀點下,它們都是「不一樣」的。

還我舉一個簡單例子:正方體(的表面)和球面是否拓樸等價?考慮

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同學看不明上面兩個數學符號也不緊要,簡單說,B 和 S2 分別是收集中心為 O,邊長為 2 的正方體和中心為 O,半徑為 1 的單位球面上的點 (x,y,z) 而已。除了用「泥膠」,我們現在用數學把正方形變成球面,方法是找出由 B 到 S2 的兩連續函數

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使

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修 M2 或接觸過向量的同學,上式不過是把三維向量 (x,y,z) 「單位化」的過程,即也是代表著把正方體上的點「拉到」單位球面上的過程。好了,跟著要證明 f 是雙連續函數,這留給大學數學 year 1 的同學作習題了,在此不贅述。可見,就算正方體有「尖角」,它和「平滑」球面其實是拓樸等價的。

上面說過「流形」(manifold)一詞,好像可以和「曲面」交換使用,但其實前者有嚴格定義。數學上定義(拓樸)流形,比如是:「n-dimensional topological manifold is a second countable Hausdoff space that is locally Euclidean of dimension n」 (註3) 當中涉及數學專門用語,故不詳談,以比喻來說,例如扁平生物,他的局部的鄰近的區域,和一個二維平面「看起來」差不多;而整個扁平生物居住的世界,就由這些局部地看來很像平面的區域「粘合」而成,那個世界就是二維流形。

現在談一些對二維流形的描述。

有界,有限

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半球面是有界的二維流形,所謂邊界,可以理解為「赤道」,是一維流形。扁平生物行到邊界,就停下來,「此路不通」。半球面是有限的,因為它可被有限張「地圖」(局部地看來很像平面的東西)覆蓋。

無界,有限

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把兩個全等半球面粘合,之前的邊界消失,形成球面。球面就是無界而有限的二維流形。扁平生物沒有邊界的阻隔,自由運行。正是這個原因,扁平生物很容易誤以為他們的世界是「無限」的,想一想,人們認為自己身處的宇宙是「無限」,會不會有可能是同樣誤解?

無界,無限

比如 x-y 平面,就是無界無限的二維流形,不能用有限的「地圖」把它覆蓋。

我們理解曲面,有時會認為它是某立體形狀的「表面」;比如蘋果皮,就是(三維的)蘋果的表面。但是二維流形,不一定是某個三維物體的表面,最簡單例子是莫比烏斯帶(Möbius strip)。考慮長方形 ABCD,如果把 AD 與 BC粘合,可以得到一條紙帶。如果粘合的情況是 A 與 B 合,D 與 C 合,得到一個可以分辨到外和內,好像皮帶的紙圈:

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如果粘合的情況是 A 與 C 合,D 與 B 合,我們就得到一條莫比烏斯帶:

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這是有限的二維流形,它不是某個三維物體的表面。如果「造物主」把扁平生物人的宇宙造成這樣子,他們會或許很疑惑:為何環繞一周,他們會「上下掉轉」?

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設有「莫比烏斯帶世界」,安置於在三維座標架中(左圖),扁平生物在 P(a,b,c) 點出發,本來箭頭向上。受該世界影響,他一定不能飛離開表面,也看不見「莫比烏斯帶世界」的整體情況(比如該莫比烏斯帶是「透明」的),那麼,當他沿帶的中間線向同一方和環繞一周(右圖),向到 P 點,箭頭變了向下。

現在回到我們身處的三維世界。我形容宇宙像個舞台,日月星宿安置其中。問題是這個舞台是甚麼模樣?它會似個「鞋盒」嗎?但感覺上,我們不似被六塊平面包圍吧(當然是憑感覺說的),它龐大,似乎是無邊無際,那麼它是無限延伸的嗎?可能未必,和二維流形的情況類似,宇宙或者是一個無界但有限的三維流形;活在高維的「造物主」,或許類似創作「莫比烏斯帶世界」般把「鞋盒」扭曲,再粘合。比如考慮以下「鞋盒」:

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把 AHEF 與 BGDC 粘合。這過程可以想像,只要鞋盒像泥膠或橡皮般有彈性便可,在我們的世界是可行的。然後再把 HEDG 與 AFCB粘合,最後把 HGAB 與 EDCF 也粘合。最後的過程似乎「做不到」,起碼難以想像,這是因為我們只有關於「前後」、「左右」和「上下」三個向度的意識。但若有高於三維的空間(可能是「造物主」的空間吧)提供足夠的向度作扭曲動作,上述過程或許輕而易舉吧。其實我不用說得如此神秘,數學上所謂「粘合」,比如 A 與 B粘合,就是視 A 和 B 為同一點(或把 A 影射去 B)而已,數學人似乎較易接受。原先的三維鞋盒有邊界,它的邊界是六塊二維平面。透過上述純粹幻想出來的過程,把平面粘合,即平面消失,亦即邊界消失,我們於是便製作了一個有限而無界的三維流形。身處其中的生物,只要沿同一方向運行,通過原先的邊界,比如上面 HGDE,瞬間在下面 ABCF 出現而不會感到甚麼驚異感覺;但在高維觀察者,或許可以看到他「身首異處」:

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在這樣的宇宙內,沿同一方向運行,如果足夠長命,他總可以返回原處;我們在我們的宇宙,是這裡嗎?或許宇宙舞台真是彎彎曲曲的,形狀比上述粘合的鞋盒更複雜奇特,甚至有天人們可以利用宇宙彎曲或捲曲程度,找出「捷徑」,克服看似可怕的距離作宇宙航行,如哥倫布或麥哲倫一樣探索更大的未知。當然,今天要研究和接受超越「常識」的學問,情況遠比要古人接受地球是球,困難得多。

文章題解:「大象無形」出自老子《道德經》第四十一章。老子談到「道」的至高至極境界時,引用了「大白若辱,大方無隅,大器晚成,大音希聲,大象無形 」等說法。本文當然不是說這些東西。我只是想說我們看到千變萬象,但支持著千變萬象的背後那個宇宙(大象),我們卻看不到它的形狀(無形)。

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註 1:《龐加萊猜想》(多納爾.歐謝) P.6
註 2:http://baike.baidu.com/view/193002.htm
註 3:Introduction to Topological Manifolds (John M.Lee) P.33

1 則迴響 »

  1. 立體幾何其實真的很煩惱,更莫說甚麼拓撲學了。中三的時候學3D Geometry,入門課題要識畫平面nets去摺立體,要分辨甚麼nets不可能砌到題目要求的立體,平面上的圖案摺成立體後它們相對的位置...面對這些題目根本無從入手,做到也沒有成功感,因為全部都是靠直覺,好像瞎猜一樣,沒有數學的感覺...

    迴響 由 Bruce — 2015/05/15 @ 3:13 上午 | 回覆


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