Quod Erat Demonstrandum

2013/06/19

CH

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 3:30 下午
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偶爾找回 2006 年擬的一份中六考卷,

johnmayhk-ch

當時我寫:

“Just for your reference, the result follows immediately by applying Cayley–Hamilton theorem; students, you may study it if you are interested."

不知那時有沒有學生真的有興趣繼續研究下去。

上述題目,不過是考慮

M=\left(\begin{array}{rcl}1&0&-1\\ 0&1&1\\-1&-1&2\\\end{array}\right)

著學生計算一下:

-M^3+4M^2-5M+2I

(原來答案「巧合地」是零矩陣!)

這類三階矩陣的無聊運算,估計在公開試愈來愈避之則吉。上題的發展不過是找 M^n 這種常見結局。

因為存在

-M^3+4M^2-5M+2I=0

這種類似多項式關係:

-x^3+4x^2-5x+2=0 ……………….. (*)

我們便可輕易找出

x^n

方法是

x^n\equiv (-x^3+4x^2-5x+2)Q(x)+px^2+qx+r (n\ge 3

利用 (*) 的解找出 p,q,r 的值,結果有

M^n=pM^2+qM+rI

重點是,擬題者(在下)如何得出

-M^3+4M^2-5M+2I=0

這個「巧妙」關係?就是靠 Cayley-Hamilton 定理。

對(比方說,三階)方陣 M,設多項式

\det (M-xI)=ax^3+bx^2+cx+d

必有

aM^3+bM^2+cM+dI=0 (零矩陣)

不要誤以為證明只是把 x=M 代入 \det (M-xI) 就立即得到零,錯!

在 \det (M-xI) 中的 x 是數字,但 M 是矩陣,不能夾硬輸入 x=M 便算。

繼續研究,請看

http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Hamilton_theorem

johnmayhk-transpose-matrix-tree

4 則迴響 »

  1. It seems that is T is not a transpose. What does T mean in the figure?

    迴響 由 Mark Shea — 2013/06/19 @ 4:27 下午 | 回覆

    • haha, this is a ‘special’ operation: a_ij → a_(n+1-j)i

      迴響 由 johnmayhk — 2013/06/19 @ 6:09 下午 | 回覆

  2. 新高中下,現在的 math 愈出愈淺,結果好多都要大學教番曬,但間接/直接影響大學本科課程質素。
    (好似 UST Civil 因為要教好多 Basic, Core/Required Course 已經讀小了很多,Around 30% less which is quite important to be a Engineer)

    我真的不明白在根基不穩的情況下,這個不堪的新高中如何調教我們的接班人的思維及解難能力?

    迴響 由 Ricky CHUNG — 2013/07/07 @ 4:04 上午 | 回覆

    • 偶然路過,見此 Post 有感而發。請見諒。

      迴響 由 Ricky CHUNG — 2013/07/07 @ 4:06 上午 | 回覆


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