Quod Erat Demonstrandum

2013/07/05

某幾何題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 5:14 下午
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參考下圖,求 \angle ADB

高中同學可以試試。

從作圖過程:

\Rightarrow

\Rightarrow

\Rightarrow

可見答案是唯一的。

解這題,不知同學是否想著 sine law,cosine law 之類。其實不必這樣,關鍵是:

AD 和 CD 是三角形 ABC 的外角平分線。(設題者的心思!)

那麼易辦,因為當 AD 和 CD 是三角形 ABC 的外角平分線,即 \theta_1=\theta_2\phi_1=\phi_2 時(見下)

\alpha_1=\alpha_2

如何證明?

停一停,想一想。

舊人應該不陌生:外角平分線的交點,叫旁心。以其為圓心,畫出切 AC 的圓,叫旁心圓(見下)。

畫了這圓,相信對證明 \alpha_1=\alpha_2 應該有點啟示,同學再試試。

畫出其餘兩個旁心圓:

把旁心連三角形 ABC 的「對角」:

易知三線共點,該點就是三角形 ABC 的內心(in-centre)。

大陸的課程把內心、外心(circumcentre)、重心(centroid)、垂心(orthocentre)和旁心稱為三角形的五心。

(Open question:但為何要學生死記這些心?有何意義?)

上題是蕭教授題為《「算法」與「辯證」數學思維的一體兩面》之短講的其中一例,那天是香港數學教育會議 2013。

那朝九晚五的會議當然內容豐富,同工們不時舉起手機,拍攝講者的 powerpoint,情況大致如下吧:

我就用最原始的方法做記錄,不知有沒有時間在此分享其他內容,多貼一個「\sqrt{2} 是無理數」的簡捷證明:

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