Quod Erat Demonstrandum

2013/09/27

D兩次是零的非拐點一定是極大或極小點嗎

Filed under: NSS — johnmayhk @ 4:55 下午
Tags: ,

剛教 point of inflection(拐點/反曲點/反趨點),或許談到

y=x^4

時,易知

\frac{d^2y}{dx^2}=12x^2

雖有

\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=0}=0

但因 \frac{d^2y}{dx^2}x=0 的左右皆是正數,同號(same sign),故 (0,0) 不是拐點。

同學再觀察 y=x^4 之圖象如下:

johnmayhk-x-power4

易知 (0,0) 是極小點(minimum point)。

有同學問:

\frac{d^2y}{dx^2}|_{(a,b)}=0,而 (a,b) 不是拐點,那麼 (a,b) 是否一定是極小點或極大點(maximum point)?

感恩,學生終於在 M2 堂發問有趣問題了!正閱讀的同學,你也先停一停,想一想吧!

其實答案是否定的。

就以上例

y=x^4

不錯,可以得到

\frac{d^2y}{dx^2}=12x^2

(從而 \frac{d^2y}{dx^2}|_{(0,0)}=0 且在 x=0 的左右 \frac{d^2y}{dx^2} 同號。)

但逆向地,要得到

\frac{d^2y}{dx^2}=12x^2

除了

y=x^4

外,世界上還有無限個可能函數,比如

y=x^4+x

都可產生

\frac{d^2y}{dx^2}=12x^2

的效果。(如果同學懂積分,由 \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2 找回原函數,完全是 “nothing special" 的。)

但當

y=x^4+x,有

\frac{dy}{dx}=4x^3+1,故

\frac{dy}{dx}|_{(0,0)}=4(0)^3+1=1

非零,即 (0,0) 既非極小點,亦非極大點。

(如果公開試可多考諸如此類的討論題而不是煩瑣運算,未嘗不是好事。)

發表迴響 »

仍無迴響。

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在 WordPress.com 建立免費網站或網誌.

%d 位部落客按了讚: