Quod Erat Demonstrandum

2013/10/24

old question is so…

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:23 下午

無聊地,無意地看回十多年前的筆記某題:

Question 1

If \alpha,\beta,\gamma are roots of x^3+px+q=0, express

(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2

in terms of p and q.

現在剛開始教二次方程 ax^2+bx+c=0 的判別式

\Delta=b^2-4ac

a=1,我們有:

\Delta=(\alpha-\beta)^2

其中 \alpha,\beta 是二次方程 x^2+bx+c=0 的根(roots)。

對於三次方程,

\Delta=(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2

也可視作判別式,判別三次方程的根之性質。

其實 Question 1 不過是普通的純數題目,在這裡解一解吧:

\alpha,\beta,\gammax^3+px+q=0 的根,故

x^3+px+q\equiv (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)

\frac{d}{dx}(x^3+px+q)\equiv \frac{d}{dx}(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)

3x^2+p\equiv (x-\alpha)(x-\beta)+(x-\beta)(x-\gamma)+(x-\gamma)(x-\alpha)

在上式中分別代入 x=\alpha,\beta,\gamma,得

3\alpha^2+p=(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)
3\beta^2+p=(\beta-\gamma)(\beta-\alpha)
3\gamma^2+p=(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)

把上面三式相乘,得

(3\alpha^2+p)(3\beta^2+p)(3\gamma^2+p)=-(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2

展開等號的左面,得

(3\alpha^2+p)(3\beta^2+p)(3\gamma^2+p)
=p^3+3(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)p^2+9(\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2)p+27\alpha^2\beta^2\gamma^2………………(*)

展開上式,可以有系統地問:p^3 的係數是甚麼?p^2 的係數是甚麼?p 的係數是甚麼?最後,常數項是甚麼?那就不難得出 (*)。

或許同學未接觸過純數,讓我慢慢處理:

已知

x^3+px+q\equiv (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)

展開等號的右邊,得

x^3+px+q\equiv x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma

比較係數,得

\alpha+\beta+\gamma=0
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=p
\alpha\beta\gamma=-q

那麼

(\alpha+\beta+\gamma)^2=0
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=0
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=-2p

\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=p
(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2=p^2
\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2+2(\alpha^2\beta\gamma+\alpha\beta^2\gamma+\alpha\beta\gamma^2)=p^2
\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2+2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)=p^2
\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2=p^2

故此 (*) 變成

(3\alpha^2+p)(3\beta^2+p)(3\gamma^2+p)
=p^3+3(-2p)p^2+9(p^2)p+27q^2
=4p^3+27q^2

(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2=-(4p^3+27q^2)

Question 2

If \alpha,\beta,\gamma are real numbers such that \alpha+\beta+\gamma=0, prove that

6(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)^2\le (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)^3

記得同事用這題做校內純數卷一甲部題目,即基本題也。

現在試用 Question 1 的結果解之。

\alpha+\beta+\gamma=0,我們不妨設

\alpha,\beta,\gamma 為下式的實根(real roots):

x^3+px+q=0

Question 1,知

(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2=-(4p^3+27q^2)

\alpha,\beta,\gamma 為實數,即上式等號左面一定不少於零,故

-(4p^3+27q^2)\ge 0

\Rightarrow 4p^3+27q^2\le 0……………….(1)

Question 1 的做數過程中,有

\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=-2p\Rightarrow (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)^3=-8p^3……………….(2)

另外,因 \alpha,\beta,\gammax^3+px+q=0 的根,故

\alpha^3+p\alpha+q=0
\beta^3+p\beta+q=0
\gamma^3+p\gamma+q=0

把上述三式加起,得

(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)+p(\alpha+\beta+\gamma)+3q=0

故此

(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)=-3q\Rightarrow (\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)^2=9q^2……………….(3)

由 (1),(2),(3),得

6(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)^2\le (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)^3

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