Quod Erat Demonstrandum

2013/11/14

上課偶拾之 sd

Filed under: mathematics,NSS,Teaching — johnmayhk @ 3:46 下午

今天開始教 standard deviation(標準差),課堂設計都是一般時序:

1. Range 和 Inter-quartile range 作為量度離散程度的工具之不足。
2. 創作可以涉及全體數據的量度工具,由最簡單考慮

\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})}{n}}

到 mean deviation

\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^n|x_i-\overline{x}|}{n}}

再到

\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}{n}}

最後

\displaystyle{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}{n}}}

如此就是一堂了。

當中,我以具體例子(統計數據)帶出

\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})}{n}}

是無用的工具。同學都看到答案總是零,亦配以證明。

問:有沒有方法改良那個工具?

一些學生提出加 absolute value,也有一些學生很快爆出 standard deviation。

但學生 Alan 卻提出:

「因為考慮了所有數據才會出問題,不如考慮由 Q_1 (lower quartile)到 Q_3 (upper quartile)的數據,來計

\displaystyle{\frac{\sum^m (x_i-\overline{x})}{m}}

這樣便有非零答案。」

不錯的意見!這也是我從沒想過的。雖然這個做法不能對付「正負抵消」的影響,但可貴之處是學生自己用腦去思考,甚感恩惠。

Think-Out-of-the-Box

3 則迴響 »

  1. IQR和range的不足是?嚴格來說Range和IQR也是用了全體數據,其中涉及了order statistics (要知道全體數據之值才能計到range / IQR)

    事實上IQR在實際應用上也很多,尤其是在air pollution data上,很常見的是用IQR standardise air pollution variables,然後用之作regression等,最後的interpretation可能是:若PM2.5上升一個IQR,整體死率將會上升xx%。我懷疑習慣用SD只是因為normal distribution以SD來作parameterisation,也有central limit theorem等等很不錯的應用。

    迴響 由 fred — 2013/11/14 @ 4:01 下午 | 回覆

    • Fred,

      對,order 也是全盤考慮,謝謝!

      所謂不足,不過是因兩組數據有相同的 range 和 IQR,它們就不足以分辨那組數據較離散。不過,若兩組數據的 range,IQR 及 sd 也一樣時,又如何?

      順便問問,你有沒有研究過有關教育局給中學的增值報告?

      最粗糙的說法:它是以學生入學前的小學成績為基礎,再以學生的 DSE 成績,看看學校的每科的「增值」情況。

      問題是小學沒有(比方說)「商業」一科,如何計算出中學商業科的增值?這似乎沒有滿意答案卻經常提問的問題,你有沒有心得?

      https://svais.edb.gov.hk/Content/docs/en/TechnicalManual.pdf

      迴響 由 johnmayhk — 2013/11/14 @ 4:46 下午 | 回覆

  2. 我倒沒想過這問題,這問題其實也可延申至mean vs median。

    理論上可以用所有科 (或其中"相關"的subset) 的成績來當predictors。那份report也有題過Academic Ability
    Index這東西,似乎就係aggregate了小學所有科的成績,怎樣弄出來的當然也是問題,我估要不是asthmatic mean就是principal component analysis 的first component score (即係分數matrix的最大eigenvalue)。

    迴響 由 fred — 2013/11/14 @ 10:55 下午 | 回覆


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