Quod Erat Demonstrandum

2013/12/21

某題行列式

Filed under: NSS — johnmayhk @ 9:56 下午
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比如不用計算機,求以下行列式的值:

\left|\begin{array}{rcl}\sin 20^o+\sin 40^o&\sin 80^o&\sin 80^o\\\sin 20^o&\sin 40^o+\sin 80^o&\sin 20^o\\\sin 40^o&\sin 40^o&\sin 80^o+\sin 20^o\\\end{array}\right|

諸如此類的題已沒有市場價值,無論如何,修 M2 的同學可以試試。

先考慮

\left | \begin{matrix}  a+b & c & c\\   a & b+c & a\\   b & b & c+a  \end{matrix} \right |

直接爆開又得,用以下概念爆開亦得:

不難想像把上述行列式爆(拆)開後,得到多項式。(以 a,b,c 為不定元,各項的 degree 不超過 3)

不妨想像它是個 polynomial in a,其他不定元(即 b,c)是常數,即

f(a)=\left | \begin{matrix}  a+b & c & c\\   a & b+c & a\\   b & b & c+a  \end{matrix} \right |

代入 a=0,得

f(0)=\left | \begin{matrix}  b & c & c\\   0 & b+c & 0\\   b & b & c  \end{matrix} \right |

由於第一和第三行相同,故 f(0)=0

由因式定理(factor theorem),知 af(a) 的因式。

類似地運用上法,不難知 b,c 也是上述行列式的因式。

可見,

\left | \begin{matrix}  a+b & c & c\\   a & b+c & a\\   b & b & c+a  \end{matrix} \right |=kabc

其中 k 是常數。

隨便代入 a=b=c=1,得

\left | \begin{matrix}  2 & 1 & 1\\   1 & 2 & 1\\   1 & 1 & 2  \end{matrix} \right |=k(1)(1)(1)

k=4,亦即

\left | \begin{matrix}  a+b & c & c\\   a & b+c & a\\   b & b & c+a  \end{matrix} \right |=4abc

那麼

\left|\begin{array}{rcl}\sin 20^o+\sin 40^o&\sin 80^o&\sin 80^o\\\sin 20^o&\sin 40^o+\sin 80^o&\sin 20^o\\\sin 40^o&\sin 40^o&\sin 80^o+\sin 20^o\\\end{array}\right|

=4\sin 20^o\sin 40^o\sin 80^o

=2\sin 20^o(\cos 40^o - \cos 120^o)

=2\sin 20^o\cos 40^o+\sin 20^o

=(\sin 60^o - \sin 20^o)+\sin 20^o

=\frac{\sqrt{3}}{2}

就這樣。

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