Quod Erat Demonstrandum

2014/01/01

HT

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,HKALE — johnmayhk @ 12:27 上午
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以下題目也見過數次,現在才知是 1981 年比利時數學競賽的某題目:

不停擲一枚公平硬幣,問以下哪一事件出現的機會較大?

(a) THT 比 TTT 先出現;
(b) TTT 比 THT 先出現。

(T = tail,H = head)

比如

HHTHHHHTHTHHHTT… 就是 (a) 其中一種情況;
HTTHHHTTHHTTTHT… 就是 (b) 其中一種情況;

不知諸君會否認為 (a) 和 (b) 出現之機會均等?

非也,其實 (a) 發生的機率較大。

先用舊東西熱身:

舊學制修讀「應用數學」或「數學與統計」的同學對以下教科書題目,或有點印象:

Let P_n be the probability that in n tosses of a fair coin no run of two consecutive heads appears.

Show that, for n \ge 2, P_n=\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{4}P_{n-2}.

這不難,

P_n

= P(no HH in n tosses)

= P(T)*P(no HH in (n-1) tosses) + P(HT)*P(no HH in (n-2) tosses)

= \frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{4}P_{n-2}

巧妙地把情況分為 T… 和 HT… 兩個互斥事件來考慮。

進一步問:如何求 P_n

那就要有少許純數的知識了。

P_n=\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{4}P_{n-2}

用輔助方程:

x^2=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}

解出

x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}

從而

P_n=a(\frac{1+ \sqrt{5}}{4})^n+b(\frac{1- \sqrt{5}}{4})^n

利用

P_1=1
P_2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

解出

P_n=(\frac{\sqrt{5}+3}{2\sqrt{5}})(\frac{1+ \sqrt{5}}{4})^n+(\frac{\sqrt{5}-3}{2\sqrt{5}})(\frac{1- \sqrt{5}}{4})^n ;n\ge 2

熱身好了,談回原先問題。

設 (a) 發生之機率為 x,利用 tree diagram 列出出現 (a) 的情況並在分枝上記下 (條件) 概率,見下圖:

johnmayhk-THT

(為省時,不多解釋了。)

故此

x=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}x

解出

x=\frac{3}{5}

即「出現 THT 先於 TTT」的概率是 \frac{3}{5}

而「出現 TTT 先於 THT」的概率是 1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}

4 則迴響 »

  1. 依條數係唔係可以用markov chain黎計?

    迴響 由 Carmen — 2014/01/01 @ 3:59 上午 | 回覆

    • Carmen,你幫我用 markov chain 計計,應該可以吧。

      迴響 由 johnmayhk — 2014/01/04 @ 10:05 下午 | 回覆

      • 我諗起 martingale…

        迴響 由 Samuel T. — 2014/01/12 @ 4:00 上午

  2. 我都記得以前學markov chain 見過呢條例題,不過太耐以前嘅嘢,唔記得點計了

    迴響 由 CHIN — 2014/02/28 @ 1:21 上午 | 回覆


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