Quod Erat Demonstrandum

2014/02/01

某數型

Filed under: Fun — johnmayhk @ 5:59 下午
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擲一顆公平骰子兩次,出現的點數和可以是

2,3,4,…,12

其概率分佈如下:

johnmayhk-loaded-dice

如果該骰子並非公平,我們希望做到:出現的點數和

2,3,4,…,12

的概率個個一樣,理論上可行嗎?

X 是擲出的點數,

P(X=i)=p_i(其中 i=1,2,3,4,5,6

如果點數和的概率個個一樣則

p_1^2=p_1p_2+p_2p_1\Rightarrow p_2=\frac{1}{2}p_1

p_1^2=p_1p_3+p_2p_2+p_3p_1\Rightarrow p_3=\frac{3}{8}p_1

p_1^2=p_1p_4+p_2p_3+p_3p_2+p_4p_1\Rightarrow p_4=\frac{15}{48}p_1

p_1^2=p_1p_5+p_2p_4+p_3p_3+p_4p_2+p_5p_1\Rightarrow p_5=\frac{35}{128}p_1

p_1^2=p_1p_6+p_2p_5+p_3p_4+p_4p_3+p_5p_2+p_6p_1\Rightarrow p_6=\frac{63}{256}p_1

p_1+(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{15}{48}+\frac{35}{128}+\frac{63}{256})p_1=1

解出

p_1=\frac{256}{693}

沒有甚麼特別,大家計計(比方說)P(sum=8) 便知「概率個個一樣」有沒有可能了。

但若留意係數:

\frac{1}{2},\frac{3}{8},\frac{15}{48},\frac{35}{128},\frac{63}{256}

它們似乎有點特別:

\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

\frac{3}{8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}

\frac{15}{48}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}

\frac{35}{128}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{8}

\frac{63}{256}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{9}{10}

應該不是甚麼巧合吧。

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