Quod Erat Demonstrandum

2014/02/20

平方和

Filed under: Fun — johnmayhk @ 11:44 下午
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隨便考慮 n 個正整數

a_1,a_2,a_3,\dots a_n

b=\sqrt{a_2^2+a_3^2+\dots +a_n^2}

(a_1+bi)^m=P+Qi

其中 m 是正整數,i^2=-1,那麼我們必有

(a_1-bi)^m=P-Qi

把上述兩式相乘,得

(a_1^2+b^2)^m=P^2+Q^2

(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)^m=P^2+Q^2 …………….. (*)

可見平方和的 m 次方也是某兩個實數 P,Q 的平方和。進一步,

(a_1+bi)^m=P+Qi

Q 為涉及 a_1,b 的多項式,

易知 bQ 的「因式」,即

Q=bR

於是 (*) 可變為

(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)^m=P^2+b^2R^2

\Rightarrow (a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)^m=P^2+(a_2R)^2+(a_3R)^2+\dots +(a_nR)^2

可見 n 個正整數的平方和之 m 次方,也是 n 個實數的平方和。

如果連 b 也是正整數,那就更有趣;因為上式右邊便會是 n 個正整數的平方和。

但是,甚麼樣的 a_2,a_3,\dots ,a_n 才可保證令 a_2^2+a_3^2+\dots +a_n^2 是平方數(從而使 b 為正整數)?

不知道。

現只考慮小的 n

考慮 n=3

我們可以考慮畢氏數組:(s^2-t^2)^2+(2st)^2=(s^2+t^2)^2

a_1,a_2=s^2-t^2,a_3=2st

其中 a_1,s,t 皆為正整數,那麼,從上面結果可知,

(a_1^2+a_2^2+a_3^2)^m 必能寫成 3 個正整數的平方和。

舉例,

a_1=2,a_2=3,a_3=4,得 b=5;隨便考慮 m=3

(2+5i)^3=-142-65i
(2-5i)^3=-142+65i

相乘,得

(2^2+5^2)^3=142^2+65^2

(2^2+3^2+4^2)^3=142^2+5^2\cdot 13^2=142^2+13^2(3^2+4^2)

(2^2+3^2+4^2)^3=142^2+39^2+52^2

嗯,感覺不錯。

考慮 n=4

我們似乎有不少方式,隨便找一個:

s^2+(s+1)^2+(s(s+1))^2=(s^2+s+1)^2

所以我們設

a_1,a_2=s,a_3=s+1,a_4=s(s+1)

其中 a_1,s 皆為正整數,那麼,從上面結果可知,

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)^m 必能寫成 4 個正整數的平方和。

舉例,

a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=6,得 b=7;隨便考慮 m=3

(1+7i)^3=-146-322i
(1+7i)^3=-146+322i

相乘,得

(1^2+7^2)^3=146^2+322^2

(1^2+2^2+3^2+6^2)^3=146^2+7^2\cdot 46^2=146^2+46^2(2^2+3^2+6^2)

(1^2+2^2+3^2+6^2)^3=146^2+92^2+138^2+276^2

頗像樣。

對,這不過是開始,但我停在此。

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