Quod Erat Demonstrandum

2014/02/21

某概率題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 3:15 下午
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同事擬一道題:

某作業有 11 題,老師選了 4 題作為家課。

小明沒有記下老師選定的題目,只是隨便找 6 題做之。

問該 6 題包含了老師選定的 4 題之概率。

這是標準題,同事的解如下:

小明在 11 題選 6 題,可有 C_6^{11} 種情況。

該 6 題包含了老師選定的 4 題,另外 2 題可從 11 – 4 = 7 題中選出,共 C_2^7 種情況。

於是,要求的概率為

\frac{C_2^7}{C_6^{11}}

可是,學生給的解如下:

\frac{C_4^6}{C_4^{11}}

(\frac{6}{11})(\frac{5}{10})(\frac{4}{9})(\frac{3}{8})

也得出正確答案。

為何?

::::::先停停,想一想::::::

利用代數當然不難證明,即設

作業有 n 題,老師選了 m 題,小明隨便找 k 題。(k \ge m

易知

\frac{C^{n-m}_{k-m}}{C^n_k}=\frac{C^k_m}{C^n_m}

同學可先證一證。

但問題是學生如何想出這個解?

不知道,但讓我嘗試解解:

現在要把老師和學生的角色「顛覆」一下:

小明先做 6 題,

老師可以從 11 題中選 4 題,共 C_4^{11} 種情況,

但要「選中」小明的題(好像說老師要滿足學生,學生主導選題,老師被動去跟,這就是我所說的「顛覆」)

即要從小明的 6 題選 4 題,共 C_4^6 種情況,

故要求的概率,就是老師選中小明的題之概率

\frac{C_4^6}{C_4^{11}}

了。

由老師先定 4 題,學生隨機選 6 題,這個正常時序,過渡到:學生先定 6 題,老師隨機選 4 題,雖然計出答案,但學生又是否客易理解?

後記:

基於疑點利益歸被告的原則,分已給了學生,隨後同事繼續估計學生之所以給出

\frac{C^6_4}{C^{11}_4}

的理由,可能是這樣:

題目中只有 4,6,11 三個數,「靠撞」地寫

\frac{C^6_4}{C^{11}_4}, \frac{C^{11}_4}{C^{11}_6}, \frac{C^6_4}{C^{11}_6} 之類,

似乎「撞中」的概率不低… …

johnmayhk-urm

3 則迴響 »

  1. 推斷該名學生是這樣理解:
    「某作業有 11 題,老師選了 4 題作為家課」 – 得出C_4^{11}。
    「問該 6 題包含了老師選定的 4 題之概率」 – 固此,分子為C_4^6,而分母就是之前得出的C_4^{11}。
    大概沒有真正理解題目,其實跟「靠撞」分別不大。

    迴響 由 Duckling — 2014/02/21 @ 11:49 下午 | 回覆

  2. 把分子裏隱藏的因式寫出,可以方便描述該分式用於表達概率時蘊涵着的真義。

    \frac{C_2^7}{C_{6}^{11} }這個分數的分子裏,隱藏了一個因式—{C_4^4}
    \frac{C_2^7C_4^4}{C_6^{11}} 的意義是
    「從11個中選6個,使得其中2個屬於『非4類』而另外4個屬於『4類』」

    所以,\frac{C_4^6}{C_4^{11}} 隱藏因式{C_0^5}
    整個分式的意義是
    「從11個中選4個,使得其中4個屬於『6類』而另外0個屬於『非6類』」

    又例如
    49個珠分為三類(攪珠結束時,攪珠機不就是把它們分為三堆嗎?)
    二獎的概率用\frac{C_0^{42}C_1^1C_5^6}{C_6^{49}}來表達

    迴響 由 CHIN — 2014/02/23 @ 12:50 上午 | 回覆

  3. 排列與組合和概率的題目多數一題多解,且表達方式可以不同
    7個人當中有兩個人要排在一起都有4個解釋
    所以呢兩課真的有趣

    迴響 由 Dicky — 2014/03/05 @ 1:13 下午 | 回覆


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