Quod Erat Demonstrandum

2014/03/18

自轉

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:34 下午
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上星期,某中一學生問同事一個問題:

johnmayhk-rolling-1

上圖顯示了大小圓,圓周比是 4:1。

若小圓在大圓上滾動(即公轉)一圈,它自轉了多少圈?

(這裡假設滾動是沒有滑動 rolling without slipping)

同事在教員室也和大家分享,教師們也約略談論。

這類題目很經典,但相信不少初中生也誤以為是 4 個圈。

如何考慮?

一言以敝之:考慮小圓心移動便可。

不難想像,小圓在「平路」上滾動,圓心前進了一個圓周之距,代表小圓自轉了一周。

再多少少想像,小圓在彎曲的路面上滾動,若圓心前進了一個圓周之距(距是指距離,不是位移),同樣代表小圓自轉了一周。

那麼,若圓心前進了 n 個圓周之距,小圓便自轉了 n 周。

回答最初問題,在圓周為小圓周 4 倍的「路面」上公轉一圈後,小圓心前進了多少距離?

不難看到,假設小圓和大圓之半徑分別為 1 個和 4 個單位,

那麼,小圓心前進了半徑為 4 + 1 = 5 個單位的圓周(或曰:小圓心的軌跡是一個圓,其半徑為 5 個單位),

亦即小圓心前進了 5 個圓周之距,

從而小圓便自轉了 5 周。

隨便弄了個 GeoGebra 檔,大家 drag 下個 k 點來數一數吧:

http://www.geogebratube.org/student/m97180

延伸一下,如果小圓在大圓內部公轉一圈:

johnmayhk-rolling-2.gif

它便自轉了 4 – 1 = 3 周。

再延伸一下,如果小圓圓周為 a,在周界為 b 的凸多邊形上滾動一圈,

johnmayhk-rolling-3

那麼小圓自轉了多少周?其實唔難鳥。

johnmayhk-rolling-4

4 則迴響 »

  1. [Evaluation mode]阿sir,其實我在開頭兩個考慮方法都有諗(圓周上的點 和 圓心),並且亦知道圓周上的點的軌跡形狀,而我的問題是為甚麼傳統問圓轉了多少總會以圓心所走的距離作準? 而不可以圓周上的一點作準? 是在計最短距離嗎?

    迴響 由 Current Chan — 2014/03/18 @ 5:39 下午 | 回覆

    • 小圓沿曲面滾動,只有圓心在運行過程和「路面」保持等距,且圓心相對旋轉軸沒有旋轉,故量度圓心的移動距離較易。若取非圓心的某點,它本身除了平移,還有相對旋轉軸的旋轉,故量度移動距離較煩。

      迴響 由 johnmayhk — 2014/03/18 @ 8:17 下午 | 回覆

      • 如果只係考簡單與複雜,用圓周上的點方法(典型學生用錯的方法),計出來不是更方便嗎?

        迴響 由 Current Chan — 2014/03/19 @ 2:19 下午

  2. 看了題目,我的解法是假想大小圓為齒論。令大圓順時針轉一圈,自然小圓會逆時針轉四圈。
    借助相對運動的概念,把大圓想成靜止,則小圓要逆時針多轉一圈。
    故解4+1=5。

    當然文內的解法嚴謹一些。好奇推廣到三體運動的情況時,哪解法較易想像?

    迴響 由 Ivan — 2014/03/21 @ 9:06 下午 | 回覆


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