Quod Erat Demonstrandum

2014/04/07

方表乘加

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:47 下午

考慮 2*2 方格表:

johnmayhk-square-grid1

在 (x,y) 位置填上 x 和 y 的積(即 xy),得

johnmayhk-square-grid2

循上法,分別得 3*3,4*4,5*5 方格表如下:

johnmayhk-square-grid3

johnmayhk-square-grid4

johnmayhk-square-grid5

現求方格表內數字 xy 的總和,

2*2 方格:1+2+2+4=9
3*3 方格:1+2+3+2+4+6+3+6+9=36
4*4 方格:1+2+3+4+2+4+6+8+3+6+9+12+4+8+12+16=100
5*5 方格:1+2+3+4+5+2+4+6+8+10+3+6+9+12+15+4+8+12+16+20+5+10+15+20+25=225

答案有 9,36,100,225,…

同學,你觀察到甚麼?

****** 停一例,想一想 ******

其實,考慮

(1+2+3+\dots +n)(1+2+3+\dots +n)

立即得到所謂總和的公式:

(\frac{n(n+1)}{2})^2

又或貌似神奇的

2*2 方格:1^3+2^3
3*3 方格:1^3+2^3+3^3
4*4 方格:1^3+2^3+3^3+4^3
5*5 方格:1^3+2^3+3^3+4^3+5^3

之類的結果。

2 則迴響 »

  1. 啊哈,才发现应该每一行的数字都是第一行的 N 倍。差点就不记得自己以前做过这种推算了。而立方和的除了利用公式相同联想到之外,有可能根据那个表格联想到么?

    迴響 由 lambda — 2014/04/15 @ 1:35 上午 | 回覆


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