Quod Erat Demonstrandum

2014/05/12

某畢氏定理證明

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 6:30 下午
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這例可作中二三的數學習題:利用菱形和相似三角形證明畢氏定理。

考慮直角三角形如下:

johnmayhk-pyth01

把三角形 ABC 沿 AB 平移 c 個單位,得三角形 DEF 如下:

johnmayhk-pyth02

如此,CADF 便是菱形。

連其對角線 AF 及 CD 交於 G,由菱形特性知角 DGA 是直角:

johnmayhk-pyth03

現在將要證明:\Delta CBD \sim \Delta AEF

設角 CDB,BCD 及 DAG 分別為 \theta\alpha\beta,見下:

johnmayhk-pyth04

考慮 \Delta CBD\theta+\alpha=90^o
考慮 \Delta ADG\theta+\beta=90^o

推論出 \alpha=\beta,則知 \Delta CBD \sim \Delta AEF 了。

從而

\frac{CB}{BD}=\frac{AE}{EF}

\frac{a}{c-b}=\frac{c+b}{a}

化簡後,得出畢氏定理:

a^2+b^2=c^2

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