Quod Erat Demonstrandum

2014/05/20

兩個等差數列

Filed under: HKCEE,mathematics,NSS — johnmayhk @ 6:42 下午
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把一個等差數列(arithmetic sequence)「放」在另一個等差數列的題目也頗常見,例如:

johnmayhk-2as

第一行有 3 格。
之後,每行格數比之前多 2。
由第 3 行第 4 個格(左起數起),
放下某個等差數列(5,9,13,…)的首項。
問這個數列的第 2014 項,在第幾行,第幾格?

把問題一般化。

設每行格數為 U_n等差為 d
(如上例,U_1=3d=2
設被放入的數列為 T_n,等差為 e
(如上例,T_1=5e=3
T_1 放在第 h 行,第 k 格,
(如上例,h=3k=4
T_n 在第幾行,第幾格?

設第 m 行最左及最右的數分別為 L_mR_m

如果 T_n 在第 m 行,則

L_m\le T_n \le R_m

現在找 L_mR_m

T_1 在第 h 行,

m\ge h

T_1 在第 k 格,

故第 h 行有 k-1 個空格,

R_h=T_{U_h-(k-1)}=T_{U_h-k+1}

亦即 L_{h+1}=T_{U_h-k+2}R_{h+1}=T_{U_h-k+2+U_{h+1}-1}=T_{U_h+U_{h+1}-k+1}

類似地,L_{h+2}=T_{U_h+U_{h+1}-k+2}R_{h+2}=T_{U_h+U_{h+1}-k+2+U_{h+2}-1}=T_{U_h+U_{h+1}+U_{h+2}-k+1}

易知,

L_{m}=T_{U_h+U_{h+1}+\dots+U_{m-1}-k+2}R_{m}=T_{U_h+U_{h+1}+\dots+U_{m}-k+1}

U_h+U_{h+1}+\dots+U_{m-1}

=\frac{1}{2}(U_1+(h-1)d+U_1+(m-1-1)d)(m-1-h+1)

=(U_1+(h+m-3)d/2)(m-h)

L_m=T_{(U_1+(h+m-3)d/2)(m-h)-k+2}

類似地,得

R_m=T_{(U_1+(h+m-2)d/2)(m-h+1)-k+1}

好了,如果 L_m\le T_n \le R_m

T_{(U_1+(h+m-3)d/2)(m-h)-k+2} \le T_n \le T_{(U_1+(h+m-2)d/2)(m-h+1)-k+1}

(U_1+(h+m-3)d/2)(m-h)-k+2 \le n \le (U_1+(h+m-2)d/2)(m-h+1)-k+1

解上述不等式,得 m

T_n 在第 m 行,第 n-((U_1+(h+m-3)d/2)(m-h)-k+2)+1 個。

好了,用上式解下 2000 年會考題:

johnmayhk-2as2

此例中,

U_1=20,h=k=1,d=2

T_n=2000\Rightarrow 1+(n-1)(1)=2000\Rightarrow n=2000

由上述不等式,得

(20+(1+m-3)(2)/2)(m-1)-1+2 \le 2000

2000\ (20+(1+m-2)(2)/2)(m-1+1)-1+1

簡化,得

m^2+17m-2017\le 0m^2+19m-2000\ge 0

解上兩式,得

-54.21\le m \le 37.21 及 (m \le -55.22 or m \ge 36.22)

結論是 m=37

即 “2000″ 在第 37 行。(第 2000-((20+(1+37-3)(2)/2)(37-1)-1+2)+1=20 個)

習題:上文最初那條。

延伸:其實出這類題可以有很多變化,比如

johnmayhk-2as3

即數字間有空格,空格數目是等差數列云云。

如果考慮等比數列(geometric sequence),甚或其他數列,又怎樣?

算,無聊完畢。

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