Quod Erat Demonstrandum

2014/05/21

與漸近線相交

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 1:35 下午
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曲線和其漸近線(asymptotes)可以沒有交點,(例如 xy=1 的圖像和其漸近線 y=0x=0 也沒有交點。)也可以有一個交點,例如 2007 HKAL Pure Mathematics Paper II Q.7,有關 y=\frac{(x+15)(x+1)^2}{(x-6)^2} 的圖像,交漸近線 y=x+29 於一點,見下:

johnmayhk-asy1

「人工」地使圖像產生「劇烈」變化,比如用絕對號,見 2009 HKAL Pure Mathematics Paper II Q.7,考慮 y=\frac{|x|(x+16)}{x-2} 如下:

johnmayhk-asy2

對每條漸近線,最多只有一個交點。

有沒有圖像和某漸近線交於多個一點?

考慮

\left \{ \begin{array}{ll} x=t+\frac{\cos(nt)}{t} &\\ y=t+\frac{\sin(nt)}{t} &\end{array}\right.

不難找出其漸近線 y=x

因為 

x\rightarrow \pm\infty \Rightarrow t\rightarrow \pm\infty

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{y}{x}=\displaystyle \lim_{t\rightarrow \pm\infty}\frac{t+\frac{\sin(nt)}{t}}{t+\frac{\cos(nt)}{t}}=1

並有

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}(y-x)=0

好了,利用原始的繪圖軟件 Winplot,代入不同的 n 值,繪出不同的

\left \{ \begin{array}{ll} x=t+\frac{\cos(nt)}{t} &\\ y=t+\frac{\sin(nt)}{t} &\end{array}\right.

圖像,如下:

n=4
johnmayhk-asy3

n=8
johnmayhk-asy4

n=12
johnmayhk-asy5

n=16
johnmayhk-asy6

更一般地,比如考慮

\left \{ \begin{array}{ll} x=t+\frac{\cos(5t)}{t} &\\ y=t+\frac{\sin(10t)}{t} &\end{array}\right.

圖像更為奔放:

johnmayhk-asy7

無論如何,無限個交點確實存在的。

johnmayhk-asy8
(圖片來源:Kate Foster)

1 則迴響 »

  1. A much simpler example is
    f(x)=(sin x)/x

    Clearly, y=0 is a horizontal asymptote and f(x) has infinitely many zeroes.

    迴響 由 lovely girl — 2014/08/29 @ 1:15 上午 | 回覆


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