Quod Erat Demonstrandum

2014/06/06

剪報

Filed under: Fun,Report — johnmayhk @ 4:56 下午
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大公報
盧安迪(普林斯頓大學本科生)
2014-05-30

質數迷蹤(上)

前兩周介紹了我早前在拔萃女書院講解的博弈論,而博弈論是為研究經濟學、政治學等牽涉互動決策的現實問題而創立。然而,更多時候,一個數學範疇卻是在毫無現實應用的情況下發展起來的。人們初時沒有計劃把它應用在某個現實問題,甚至難以想像它將來可以出現在什麼現實情況。由一門數學分支的萌芽到其找到在現實中的應用,往往需要數十至數百年的時間,或者更多。一個典型的例子就是我上次回到母校聖保羅男女中學分享時講述的數論(number theory)。

數論主要是研究正整數(即1、2、3等)的學問,在數學中至為純粹,地位超然,有「數學的皇后」之美譽。而正整數的基本組成元素是質數,即只可被1和自己這兩個正整數整除的正整數,例如2、3、5等(但4則不是質數,因為4可被2整除)。任何正整數都可唯一地分解成質數的乘積(例如6=2×3),因此質數之於數論,猶如化學元素之於化學,至關重要。

人類對質數奧秘的探索有悠久的歷史。早在古希臘時期,《幾何原本》作者歐幾里得便巧妙地證明了共有無限個質數:假設只有有限個質數,把它們全部相乘後加1,得出的這個大數除以任何質數都是餘1,故此不能分解成質數的乘積,而此為荒謬,所以不可能只有有限個質數。當時質數的現實應用還未被發掘,幸好古希臘社會崇尚真理,不像今日香港般金錢掛帥,否則歐幾里得窮一生精力研究此等「無用之物」,肯定會被人「笑到面黃」吧!

質數之道千年無用

質數和數論「無用」的狀況持續了幾千年。話說二十世紀上半葉的戰亂時期,一個數學家被誤以為間諜而捉去處決,他連忙拿出跟一位知名數學家合作的數論文章,證明自己只是個研究「無用之物」的無辜學者,方才避過一劫。他事後笑稱,這大概是數論在現實生活中的唯一應用!

另一位二十世紀數學家哈代(G. H. Hardy)在1940年寫下《一個數學家的自白》(A Mathematician’s Apology),流露出兩次世界大戰時代的思潮。他為自己的專業——數論——作為一門清白的學問,沒有任何戰爭用途而感到欣慰。然而,在二十世紀下半葉,事情卻起了峰迴路轉的變化。

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大公報
盧安2014-06-06

質數迷蹤(下)

上星期談到英國數學家哈代經歷兩次世界大戰,為其研究的數論沒有戰爭用途而倍感欣慰。然而,如果哈代地下有知,相信他高興不過三十年。

加密通訊一向是戰爭中極為關鍵的一環。軍隊能否成功將己方的通訊加密,並破解截取到的敵軍軍情,往往可以決定勝敗。在第二次世界大戰中,就是全憑同盟國的數學家破譯德軍的Enigma密碼,掌控軸心國的機密情報,估計足足令二戰提早兩年結束,免卻多少生靈塗炭。

RSA演算法基於數論

1977年,三名麻省理工學院的學者運用數論中的質因數分解原理,發明了一種新的加密方法──RSA演算法。用這個方法將訊息加密,需要計算兩個大型質數的乘積。沒有收訊密鑰的其他人若要解密,則需從該乘積找回原來的兩個質數。RSA演算法的關鍵不在於沒有人知道怎樣破譯,而在於需要極長時間方能完成破譯:要計算兩個質數的乘積相對容易,但即使我光明正大地告訴你那個乘積是什麼,要找回如此大數的質因數分解卻十分困難,迄今未發現任何快捷方法。這個加密法應用在軍事中,待敵方花上幾百年時間找到質因數分解,已是猴年馬月!

若然知道基於數論原理的RSA演算法已成為各國軍隊不可或缺的加密工具,哈代在九泉之下,想必七竅生煙。

不過,哈代實在不用太過傷心,畢竟任何數學應用都有善惡兩面。軍事技術既可用來發動不義之戰,亦可用來守護家園,保衛和平。況且RSA加密技術今日也廣泛用於銀行、商業保安等領域,造福人民。順帶一提,如果你找到一個快速質因數分解的方法,千萬不要告訴別人,否則不法之徒便會用它來瞬間破解所有電子加密系統,偷走全世界人在銀行裡的錢!

一個數學範疇可能歷盡千載滄桑,才在現實世界中找到應用。在追求真理的道路上,這種信念必不可少。同時,現實中的應用又會為抽象學問的發展注入動力,甚至為理論的探索方向帶來靈感。理論和應用正是憑這種輔車相依的關係,一起推動文明前進。

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中國時報
湯雅雯 胡清暉
2014-06-05

高中數學必修學分縮減 中研院93位院士連署反對

12年國教擬調整高中數學必修學分,93名中央研究院院士連署反對。中研院士丘成桐等人昨表示,全世界越來越重視數學人才,「台灣不向前走,還往後退」,此降低數學必修學分的課綱若上路,台灣未來將無才可用。

他們提出四項主張,一、高一到高三每學期必修數學4學分;二、高中數學課規畫2套課程綱要,供不同學生選擇;三、小學和國中每天應有一堂數學課;四、國家應建立長久性的師資再訓練制度,確保數學課教學品質。

提4主張 力挺數學

包括中研院院長李遠哲、前教育部長杜正勝、前國科會主委朱敬一及余英時、許倬雲等93位院士連署,反對12年國教總綱草案把高中數學必修課從原本24學分降為12學分。

多位院士昨召開記者會,林長壽院士表示,全世界沒有一個國家數學必修課只到高二上學期,高二下改為選修,台灣「獨創全球」,可能為未來埋下隱憂。

憂心賠掉國家前途

在國際數學界具份量的丘成桐說,台灣人才慢慢流失,當得知台灣高中要縮短數學時數,「我嚇了一大跳」,這樣下去,未來恐怕無法培育高科技人才,甚至把國家的前途都賠掉了。

在哈佛數學系任教的姚鴻澤分析,美國一般公立高中規定,每周至少上225分鐘數學課,數學需要長時間培養,台灣竟然把數學時數縮短,「這在國際上,是非常不可思議的事情。」

國教院︰並未縮水

院士們認為12年國教課綱降低高中數學必修學分,但教育部國家教育研究院說「沒有」。國教院澄清,現行課綱高中數學「必修」16學分,雖然12年國教總綱草案減為12學分,但學生仍然要「必選」4學分,若選擇理工農醫的自然組學生,還要再選修數學12學分,總修習學分至少24學分,與現行課綱相同。

北一女前校長周韞維認為,每個科目都覺得時數不夠,不過,有些人若對數學沒興趣,再多的時數也未必有用,因此,她主張,課程要有一定的彈性,必修及選修的時數還可以再討論。

國三學生家長楊世凡表示,重點不是教學時數,而是教學方法和教學內容,必須要有所改革。

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中國時報
2014-06-05

《短評》數學之用

近百位中研院院士連署,反對12年國教降低數學必修時數,這是著眼於國家競爭力,但對學生來說,卻可能提高求學的痛苦指數。到底學數學有沒有用呢?這確實是個兩難的問題。

對很多不擅長數字的學生來說,數學課宛如一場惡夢,在聽嘸與挫折中生不如死,除非大學念的科系或日後從事的工作與數學相關,否則很多人考完大學後,硬塞在腦子裡的三角函數、代數、微積分便全部以光速飛去,消失得比青春小鳥還快,而且絕大多數人往後一輩子都不會再用到。

因此一直也有人質疑,要花那麼多時間在痛苦指數高、實用效益低、遺忘速度快的數學上,到底值不值得?

每位數學老師都堅持數學很重要,大多數老人家卻告訴你,會簡單的加減乘除就夠過活了。

連署的院士們認為教育政策必須銜接各級教育制度,還要考量國家競爭力,而大學的標準國際一致,若減少學科必修學分,可能會讓台灣的高中學生程度和國際產生落差,留學時難以接軌。而且家庭經濟好的孩子可以去補習,對弱勢學生極為不利。

院士們憂國憂民,顧慮的也是沒錯。不過,如果國、英、數大師各自都主張學分不能降的話,加起來學生的負擔一點也沒減輕。

或許加強選修課程,並提供弱勢學生補助教學,可以不讓潛在的奇才被埋沒,至於其他學生,也可以有比較大的學習選擇空間。

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信報財經新聞
毛羨寧
2014-05-31

數學也可以有趣

牛津大學九百多年的歷史中,只有十位姓氏以「Mo」為拼音,著名華籍作家巫翔青(Timothy Mo)是其中一例。真正以「毛」為姓氏的,除了我以外,就是我堂兄。他從小是優秀的理科天才,拿到倫敦大學大學學院(UniversityCollege London)獎學金念物理的第三年,以97%的考試分數獲得全年第一名,而第二名的同學只有七十多分,所以他第四年輕易在碩士班拿到一級榮譽學位。畢業後,他再獲得裘槎基金會獎學金到牛津梅頓學院念博士學位,化解數學定論。我天真地問他的研究「有什麼用」,他淡然地說:「沒有實際用途。」

世上怎會有沒用的東西?可能堂兄怕我不能理解,免得白費唇舌,我也不勉為其難,讓他回到方程式的宇宙空間。

從小念數學,到頭來只懂計算,很少分析數字背後有趣的地方。三年前替母校擔任發展工作的時候,我們曾經極力游說牛津大學數學教授馬庫斯.杜索托伊(Marcus du Sautoy)到亞洲講數學有趣之處。可是他除了教學、上電視節目之外,還經常巡迴世界各地主持大眾化的科普講座,時間表排得滿滿。經過一年多的安排,他終於在3 月到香港演說「The Num8erMy5teries」,說起了他最喜歡的質數。「作為數學家,我的工作核心是尋找規律和邏輯,但質數沒有規律,非常具有挑戰性,帶給我很大樂趣。」

質數沒規律具挑戰

馬庫斯介紹了一種生活在美國東部的蟬。牠們有一個奇怪的生命周期,首先埋於地下十七年,然後同時破土而出,短暫的六星期生命包含求偶、交配、產卵、死亡四部曲。試想雄蟬早晚在森林求偶時發出達一百分貝聲音,而每公頃地約有十萬至一百萬隻蟬同時大合唱的時侯,相等於汽車引擎所發出的響聲。交配後的雌蟬則沿樹幹由下往上爬,每爬一步鑽一個洞,在一個樹枝上可產出四百枚卵。 蟬卵孵化成蛹之前,會在樹枝上停留六至十周,然後自動掉落到地面,在地下小孔度過另一個十七年,故被稱為「十七年蟬」(Magicicada septendecim)。2002年德國馬普學會(The Max Planck Society)分子生理學研究所和智利國立大學共同發表論文,透過「獵人-獵物」的數學模型證明了蟬的獵食者也希望跟蟬在同一時期出現。如果蟬的生命周期是十二年之類的雙數,就會與那些生命周期為一、二、三、四、六及十二年的天敵碰頭,大大降低存活率。但十七年蟬透過進化得到了「質數生存周期」的優勢,減少在地面上遭遇天敵的機率,可以穩定保存種群數量。

我跟拉丁語老師說起蟬的名稱,還提起了馬庫斯最愛質數號碼「十七」,因為他是足球隊RecreativoHackney FC第十七號球員。來自意大利的微博追隨者大吃一驚,以為他遇到不吉利的事。原來意大利人忌諱「十七」,理由是羅馬字母XVII重新排序之後是拉丁語VIXI,可以指曾經活者(I have lived),也就意味「現在死了」,所以有些意大利航空飛機沒有第十七排。無所不在的數學奧秘,以為除了經濟金融以外,別無用途,其實有層出不窮的樂趣。

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太陽報
2014-06-05

全球教育排名 港遜星洲

【本報訊】香港在一項全球性的教育方面排名又敗給新加坡。世界經濟論壇最新發布的《二○一四年全球信息技術報告》顯示,香港在教育體系質量排名第二十二位,在數學與科學教育質量方面排名第十,兩者均遠遠落後於新加坡。

報告對全球一百四十八個國家或地區,在利用訊息通訊技術推動經濟增長的多項指標作出排名,其中,在教育體系質量排名中,瑞士名列榜首,芬蘭緊隨其後,香港排名第二十二,雖微升一位,但仍遠遠落後於排名第三的新加坡。

在數學與科學教育質量排名方面,新加坡、芬蘭及比利時分別排名榜首、第二及第三位;香港排名第十,較去年微升一位,台灣則排名第十一位。

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