Quod Erat Demonstrandum

2014/06/16

積分二三事

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:50 下午
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1.

同事提我,求

\int \frac{dx}{1-x^2}

時,如果設

x=\sin \theta(或 x=\cos \theta

之類是錯的。

雖然「照做」是沒有問題,即

dx=\cos \theta d\theta

\int \frac{dx}{1-x^2}=\int \frac{\cos \theta d\theta}{1-\sin^2 \theta}=\int \frac{d\theta}{\cos\theta}=\int \sec\theta d\theta=\ln|\sec\theta+\tan \theta|+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+C

但同事指出,在

\int \frac{dx}{1-x^2}

中,x 的取值範圍(除了不可以是 1 或 -1 外)沒有限制,但一旦設

x=\sin \theta

就把 x 的值限制在介乎於 -1 和 1 之間。

不過,\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} 確實是 \frac{1}{1-x^2} 的反導數(anti-derivative),那麼,如果設

x=\sin \theta,並注明 -1 < x < 1

利用代入法得出 \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}

然後考慮,當 x > 1

\frac{d}{dx}\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|

=\frac{d}{dx}\frac{1}{2}\ln(-\frac{1+x}{1-x})

=\frac{1}{2}\cdot\frac{x-1}{x+1}\cdot(\frac{x+1}{x-1})'

=\frac{1}{2}\cdot\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}

=\frac{1}{1-x^2}

類似地,當 x < -1,也得到

\frac{d}{dx}\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|

=\frac{1}{1-x^2}

我們才敢說

\int \frac{dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+C

考評人員應該接納吧。

當然,我有教導學生用部分分式處理,即

\int \frac{dx}{1-x^2}=\int \frac{1}{2}(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x})dx=\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+C

有關定積分中的代入法,很久前討論過,有興趣者可點擊下文看看:

[AL][PM] Definite integrals — trouble? (3)

2.

現在嘗試「玩玩」複數,是之前學生問的:

\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}

時,可否代

x=iu

當然,解這例的主流方法是設

x=\tan\theta,易知

\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{\pi/4}d\theta=\frac{\pi}{4}

如果設

x=iu

並甚麼也不理會地視 i 為普通常數,且當一般的求導和求積法去處理,我們有

dx=idu

並有

\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}

=i\int_0^{-i} \frac{du}{1-u^2}

=\frac{i}{2}[\ln(\frac{1+u}{1-u})]_0^{-i}

=\frac{i}{2}\ln(\frac{1-i}{1+i})

=\frac{i}{2}\ln(-i)

不難知

\ln (z)=\ln |z|+i\arg (z)

\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}=\frac{i}{2}(ln1+i(-\frac{\pi}{2}))=\frac{\pi}{4}

答案正確。

多玩一道「例題」,求

\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}

主流做法是設

x=\tan \theta,得

\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}

=\int_0^{\pi/4} \frac{\sec^2 \theta d\theta}{\sec \theta}

=(\ln|\sec \theta + \tan \theta|)_0^{\pi/4}

=\ln(1+\sqrt{2})

現在玩複數,設

x=i\sin \theta

\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\int_0^{\alpha} \frac{i\cos \theta d\theta}{\cos \theta}=i\alpha

(其中 \alpha 滿足 i\sin \alpha =1

e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,不難得出

i\sin\theta = \frac{1}{2}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})

i\sin \alpha =1

\Rightarrow \frac{1}{2}(e^{i\alpha}-e^{-i\alpha})=1

\Rightarrow e^{2i\alpha}-2e^{i\alpha}-1=0

\Rightarrow e^{i\alpha}=1+\sqrt{2}

\Rightarrow i\alpha=\ln(1+\sqrt{2})

\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(1+\sqrt{2})

似乎「可行」。(當然,這樣的方法有些問題未弄清,是強推的,一定被插死了 XP)

3.

再記一事,也是同事問及:

利用一些網上做不定積分的工具,例如

http://www.mathportal.org/calculators/calculus/integral-calculator.php

處理

((cos(x)+sin(x))/(cos(x)-sin(x)))^0.5

竟出現錯誤答案:

(sin(2x)-cos(2x))*sqrt(2)/4

而用 Wolframalpha,則「出不到」答案,見

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28%28cos%28x%29%2Bsin%28x%29%29%2F%28cos%28x%29-sin%28x%29%29%29%5E0.5

問陳博士,他告之主要是因為被積分的是複函數,它的原函數要以「特別函數」(special functions)的組合來表達,見

https://dl.dropboxusercontent.com/u/19150457/In.pdf

當天得了答案,到今天我仍未「驗證」,慚愧。

有關複函數的積分,之前都找了舊片溫習一下:

Herbert 清楚地教授,不過仍未解答我的疑問,有機會再研究了。

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