Quod Erat Demonstrandum

2014/07/12

[FW] 微積分的宗教秘史

Filed under: Fun — johnmayhk @ 8:59 上午

微積分的宗教秘史

今日的積分學源自17世紀兩位數學家的爭辯,他們背後的動機究竟是數學還是宗教呢?
撰文/亞歷山大(Amir Alexander)
翻譯/鍾樹人

重點提要

■17世紀,義大利數學家卡瓦列里提出:任何平面都是由無窮多個線條構成,而任何立體則由無窮多個平面組成。他說,我們可以利用這些「不可分量」來計算長度、面積和體積──這是邁向現代微積分重要的一步。
■和卡瓦列里同時代的瑞士數學家古爾丁對此非常不認同,他批評不可分量不合邏輯,但這兩人的爭論並非全是出於數學理由。
■他們分屬兩個不同教派,雖然名稱類似,但兩方教派的哲學大不相同:古爾丁屬於耶穌會,而卡瓦列里則屬於耶穌教團。前者相信可利用數學把嚴密的邏輯結構強加在混亂的宇宙之上,後者則比較想順從直覺去了解複雜的世界。

無數學生都學過微積分,也就是把物體分割成許多等分再加總起來,以求得長度、面積或體積,屬於數學的一門分支,但是很少人知道,他們的微積分作業有一些源自17世紀兩位學者之間的爭辯。在1635年,義大利數學家卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)宣稱,任何平面是由無窮多個平行線構成,而任何立體則由無窮多個平面組成。他的「不可分量法」(method of indivisibles)曾經遭受瑞士數學家古爾丁(Paul Guldin)因經驗理由而抨擊,但是後來仍保存下來,成為了微積分的先驅。美國加州大學洛杉磯分校的亞歷山大發現,這場爭辯的背後藏有更多的個人動機。本文摘錄自亞歷山大的最新著作,他指出卡瓦列里和古爾丁分屬不同的天主教會,兩人對於如何透過數學來理解現實的本質,意見有所分歧。

古爾丁在1641年出版的著作《重心》(De Centro Gravitatis,亦稱Centrobaryca)的第四卷內,詳細批判了卡瓦列里的不可分量法。古爾丁認為,古典數學家無法接受卡瓦列里的證明,因為那不是構造性證明(constructive proof)。這樣的說法確實沒錯,在傳統的歐氏幾何裡,幾何圖形是一步接一步,從簡單到複雜,只藉由直尺畫線和圓規畫圓建構起來。在證明圖形的每個步驟裡,都必須具有這種建構性,再加上邏輯演繹,才能得到最後的圖形。然而卡瓦列里卻反其道而行,他從拋物線、螺線等已經畫出的幾何圖形開始,然後把它們分割成無窮多的等分。這種方法或許可以稱為「解構」,而不是「建構」,其目的並非建立合乎邏輯的幾何圖形,而是拆解既有圖形的內部結構。

古爾丁接著攻擊卡瓦列里方法的基本原則,也就是平面由無窮多個平行線構成、立體由無窮多個平面組成的這種概念。古爾丁堅稱這種概念簡直是胡說八道,他說:「沒有幾何學家會認同他的平面概念,更不可能以『圖形裡的所有直線』這種幾何語言來稱呼平面。」

換句話說,因為線條沒有寬度,即便數量再多的線條並排在一起,也無法構成最小的平面。因此卡瓦列里透過圖形中「所有線條」來計算平面面積,顯得很荒謬。古爾丁接著說出他的觀點:卡瓦列里的方法是,以某個圖形的所有線條與另一個圖形的所有線條之間的比例來計算。但古爾丁堅稱,兩個圖形的線條都無窮多,兩個無窮之間的比例並無意義。無窮多個不可分量不論乘以幾次,都不可能超過另一組無窮多個不可分量。

宗教介入?

古爾丁批評卡瓦列里方法的所有論述,具體展現出當時耶穌會(Jesuit)數學的核心原則。耶穌會數學的傳統創始者克拉維烏斯(Christopher Clavius)與信徒深信,從簡單的公設到更複雜的定理,數學推演都必須具有系統並符合邏輯演繹,以描寫圖形之間的普遍關係,構造性證明正是這種理想的具體表現。這種方法能產生嚴謹、有階層的數學邏輯,對耶穌會而言,這正是人們為何研究這個領域的主因。這種方法能透過系統化的演繹,顯現出抽象原則如何建構出固定且理性的世界,其中的真理是萬物適用而不可挑戰的。對此,克拉維烏斯指出,歐氏幾何要比其他任何科學更接近耶穌會嚴謹、階層和秩序的理想。由此可知,古爾丁並非如卡瓦列里和他的朋友所認為,是因為迂腐或心胸狹隘而緊抱著構造性證明不放,他不過是表現出自己對所屬教派的堅定。

古爾丁對於卡瓦列里方法基本原則的批評,也是如此。數學不僅必須具有階層、構造性,還必須完全理性、不能有所矛盾。但古爾丁指出,卡瓦列里不可分量中最核心的概念是條理不清的,因為把連續體視為不可分量的組合這種概念是禁不起理性的考驗。他喝斥:「不存在的事物,就是不可能存在,無法拿來互相比較,也難怪會造成矛盾和不一致,最後導致錯誤。」

對於耶穌會來說,這樣的數學還不如不要,畢竟數學的目的是為世界帶來正確的秩序和穩定,而不可分量法卻會造成困惑和混亂。假如接受這種有瑕疵的系統,數學就不能永久維持理性和秩序的基礎,那麼耶穌會的夢想,也就是一個如同幾何真理般有嚴謹階層而不可挑戰的夢想,也將隨之瓦解。

古爾丁在他的著作裡並未解釋他反對不可分量的深層哲學動機;其他耶穌會數學家也不曾解釋,例如同樣抨擊卡瓦列里的貝蒂尼(Mario Bettini)和塔奎特(Andrea Tacquet)。古爾丁一度差點坦承,這件事不僅攸關數學,而是牽涉更廣的議題。他神秘地寫道:「我認為不該以那些必須受到抑制的動機與不適當的沉默,來排拒不可分量法。」但他不曾解釋過那些「必須受到抑制的動機」究竟是什麼。這三位數學家擔負起了用數學抨擊不可分量的任務,而不涉及哲學或宗教。假設他們坦承這些動機是基於神學或哲學上的考量,他們在數學領域的威信必將受損。

那些參與不可分量論戰的人,當然知道真正的風險何在,就像耶穌教團(Jesuat)數學家安傑里(Stefano degli Angeli)以詼諧的文句暗示:不知道耶穌會數學家是受到「何種神靈」的感召。然而除了極少數的例外,這場爭辯一直局限在數學領域,是兩群受過高度訓練的專家,在爭論數學演算程序的合理性。

【欲閱讀更豐富內容,請參閱科學人2014年第149期7月號】

http://sa.ylib.com/MagCont.aspx?Unit=featurearticles&id=2466

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