Quod Erat Demonstrandum

2014/08/08

利用比較係數做積分

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:16 上午
Tags: , ,

之前談過積分的某技巧,見

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/07/integration-by-parts/

現談另一個。

例 1

考慮多項式 P(x),易知

\frac{d}{dx}P(x)e^x=(P(x)+P'(x))e^x

注意到

P(x)P(x)+P'(x) 皆是多項式,且它們的次數(degree)相同,

換言之

多項式乘 e^x 後求導(differentiate),得多項式乘 e^x,且該多項式的次數不變;

逆向地,

多項式乘 e^x 後求積(integrate),理應得多項式乘 e^x,且該多項式的次數不變。

舉例,求

\int x^3e^xdx

不妨設

\int x^3e^xdx=(ax^3+bx^2+cx+d)e^x+C

兩邊求導(differentiate with respect to x),得

x^3e^x=(ax^3+bx^2+cx+d)e^x+(3ax^2+2bx+c)e^x

x^3e^x=(ax^3+(b+3a)x^2+(c+2b)x+(d+c))e^x

現比較係數,得

a=1
b+3a=0 \Rightarrow b=-3
c+2b=0 \Rightarrow c=6
d+c=0 \Rightarrow d=-6

於是

\int x^3e^xdx=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+C

注:上法只用求導法和比較係數,沒用積分技巧。

例 2

易知

\frac{d}{dx}\tan x=\tan^2x + 1

\frac{d}{dx}P(\tan x)=P'(\tan x)(\tan^2x + 1)

其中 P(\tan x) 是以 \tan x 為不定元的多項式(polynomial in \tan x

可見

對 polynomial in \tan x 求導,得到的也是 polynomial in \tan x,不過次數(degree)增加 1;

逆向地,

對 polynomial in \tan x 求積,得到的理應也是 polynomial in \tan x,不過次數減少 1。

那麼,比如求

\int \tan^3xdx

我們可以用類似例一的方法,設

\int \tan^3xdx=a\tan^2x+b\tan x+c

嗎?這裡要多一些考慮。先看看如此設定會有何問題:

把上式求導,得

\tan^3x=2a\tan x(\tan^2x+1)+b(\tan^2x+1)

\tan^3x=2a\tan^3x+b\tan^2x+2a\tan x+b

比較係數,得

2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}
b=0
2a=0 \Rightarrow a=0

咦,出現不協調!明顯是設定的自由度(degree of freedom)不夠。為了增加自由度,我們可設

\int \tan^3xdx=a\tan^2x+b\tan x+cx+d\int \tan xdx

(注:求導後,cx 變成多項式的常數,\int \tan xdx 變成多項式的不定元 \tan x

把上式求導,得

\tan^3x=2a\tan^3x+b\tan^2x+(2a+d)\tan x+c

比較係數,得

2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}
b=0
2a+d=0 \Rightarrow d=-1
c=0

於是

\int \tan^3xdx

=\frac{1}{2}\tan^2x-\int \tan xdx

=\frac{1}{2}\tan^2x+\ln|\cos x|+C

多舉一例,求

\int \tan^4xdx

\int \tan^4xdx=a\tan^3x+b\tan^2x+c\tan x+Dx+e\int \tan xdx

把上式求導,得

\tan^4x=3a\tan^4x+2b\tan^3x+(3a+c)\tan^2x+(2b+e)\tan x+(D+c)

比較係數,得

3a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{3}
2b=0 \Rightarrow b=0
3a+c=0 \Rightarrow c=-1
2b+e=0 \Rightarrow e=0
D+c=0 \Rightarrow D=1

於是

\int \tan^4xdx=\frac{1}{3}\tan^3x-\tan x+x+C

例 3

\int e^x\sin xdx

時,大家又可否用類似以上方法處理之?

johnmayhk-too-easy-wrong

2 則迴響 »

  1. 設 int. (e^x)*(sinx) dx = (a sinx+bx+c[int. (sinx)dx])*(e^x)+C
    (e^x)*(sinx) = (a cosx+b+c sinx)*(e^x)+(a sinx+bx+c[int. (sinx)dx])*(e^x)
    = (e^x)*[ (c+a)sinx+(a-c)cosx+bx+b ]

    c+a=1
    a=c=1/2
    b=0

    int. (e^x)*(sinx) dx = (a sinx+bx+c[int. (sinx)dx]*(e^x)+C
    = (1/2)(sinx-cosx)*(e^x)+C

    Proof:
    int. (e^x)*(sinx) dx
    = int. sinx d(e^x)
    = sinx e^x – int. e^x (cosx)dx
    = sinx e^x – int. cosx d(e^x)
    = sinx e^x – (cosx e^x – int. e^x (-sinx) dx)
    = sinx e^x – cosx e^x – int. e^x sinx dx
    = (1/2)(sinx-cosx)*(e^x)+C

    可以多講Degree of freedom嗎? 雖然做到但不太理解為何增加DOF需加上其積分(e.g. int. tanx)

    迴響 由 Hayden Kin — 2014/08/08 @ 4:40 上午 | 回覆

    • 1.謝謝嘗試例 3!

      其實我原先是想設

      \int e^x\sin xdx=(a\sin x+b\cos x)e^x+C

      而已。

      2.積 \tan^3x 之例,原設定求導後右邊 \tan^3x\tan x 的係數皆是 2a,是相等的。但一般地,我們用待定係數方法時,\tan^3x\tan x 的係數無必要有這規限(不自由),所以多給個 e\tan x 項(即 \int \tan xdx 求導後的結果)增加其「自由度」而已。

      3.聞 Risch algorithm 是電腦做不定積分(符號運算)的某算法,有興趣找找看吧。

      迴響 由 johnmayhk — 2014/08/08 @ 1:41 下午 | 回覆


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