Quod Erat Demonstrandum

2014/08/08

利用比較係數做積分

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:16 上午
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https://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/07/integration-by-parts/

$\frac{d}{dx}P(x)e^x=(P(x)+P'(x))e^x$

$P(x)$$P(x)+P'(x)$ 皆是多項式，且它們的次數（degree）相同，

$\int x^3e^xdx$

$\int x^3e^xdx=(ax^3+bx^2+cx+d)e^x+C$

$x^3e^x=(ax^3+bx^2+cx+d)e^x+(3ax^2+2bx+c)e^x$

$x^3e^x=(ax^3+(b+3a)x^2+(c+2b)x+(d+c))e^x$

$a=1$
$b+3a=0 \Rightarrow b=-3$
$c+2b=0 \Rightarrow c=6$
$d+c=0 \Rightarrow d=-6$

$\int x^3e^xdx=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+C$

$\frac{d}{dx}\tan x=\tan^2x + 1$

$\frac{d}{dx}P(\tan x)=P'(\tan x)(\tan^2x + 1)$

$\int \tan^3xdx$

$\int \tan^3xdx=a\tan^2x+b\tan x+c$

$\tan^3x=2a\tan x(\tan^2x+1)+b(\tan^2x+1)$

$\tan^3x=2a\tan^3x+b\tan^2x+2a\tan x+b$

$2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$
$b=0$
$2a=0 \Rightarrow a=0$

$\int \tan^3xdx=a\tan^2x+b\tan x+cx+d\int \tan xdx$

（注：求導後，$cx$ 變成多項式的常數，$\int \tan xdx$ 變成多項式的不定元 $\tan x$

$\tan^3x=2a\tan^3x+b\tan^2x+(2a+d)\tan x+c$

$2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$
$b=0$
$2a+d=0 \Rightarrow d=-1$
$c=0$

$\int \tan^3xdx$

$=\frac{1}{2}\tan^2x-\int \tan xdx$

$=\frac{1}{2}\tan^2x+\ln|\cos x|+C$

$\int \tan^4xdx$

$\int \tan^4xdx=a\tan^3x+b\tan^2x+c\tan x+Dx+e\int \tan xdx$

$\tan^4x=3a\tan^4x+2b\tan^3x+(3a+c)\tan^2x+(2b+e)\tan x+(D+c)$

$3a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{3}$
$2b=0 \Rightarrow b=0$
$3a+c=0 \Rightarrow c=-1$
$2b+e=0 \Rightarrow e=0$
$D+c=0 \Rightarrow D=1$

$\int \tan^4xdx=\frac{1}{3}\tan^3x-\tan x+x+C$

$\int e^x\sin xdx$

2 則迴響 »

1. 設 int. (e^x)*(sinx) dx = (a sinx+bx+c[int. (sinx)dx])*(e^x)+C
(e^x)*(sinx) = (a cosx+b+c sinx)*(e^x)+(a sinx+bx+c[int. (sinx)dx])*(e^x)
= (e^x)*[ (c+a)sinx+(a-c)cosx+bx+b ]

c+a=1
a=c=1/2
b=0

int. (e^x)*(sinx) dx = (a sinx+bx+c[int. (sinx)dx]*(e^x)+C
= (1/2)(sinx-cosx)*(e^x)+C

Proof:
int. (e^x)*(sinx) dx
= int. sinx d(e^x)
= sinx e^x – int. e^x (cosx)dx
= sinx e^x – int. cosx d(e^x)
= sinx e^x – (cosx e^x – int. e^x (-sinx) dx)
= sinx e^x – cosx e^x – int. e^x sinx dx
= (1/2)(sinx-cosx)*(e^x)+C

可以多講Degree of freedom嗎? 雖然做到但不太理解為何增加DOF需加上其積分(e.g. int. tanx)

迴響 由 Hayden Kin — 2014/08/08 @ 4:40 上午 | 回應

• 1.謝謝嘗試例 3！

其實我原先是想設

$\int e^x\sin xdx=(a\sin x+b\cos x)e^x+C$

而已。

2.積 $\tan^3x$ 之例，原設定求導後右邊 $\tan^3x$$\tan x$ 的係數皆是 $2a$，是相等的。但一般地，我們用待定係數方法時，$\tan^3x$$\tan x$ 的係數無必要有這規限（不自由），所以多給個 $e\tan x$ 項（即 $\int \tan xdx$ 求導後的結果）增加其「自由度」而已。

3.聞 Risch algorithm 是電腦做不定積分（符號運算）的某算法，有興趣找找看吧。

迴響 由 johnmayhk — 2014/08/08 @ 1:41 下午 | 回應