Quod Erat Demonstrandum

2014/08/09

點解

Filed under: Fun — johnmayhk @ 9:25 上午
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把 n 人分若干組,各組人數不一定相同。

a_k = 不少於 k 人的組數。

(易知 a_1\ge a_2\ge a_3\ge \dots

b_k = 人數排第 k 位(由多至少排列)的組,其組內人數。

(易知 b_1\ge b_2\ge b_3\ge \dots

1.證明

a_1+a_2+a_3+\dots=b_1+b_2+b_3+\dots

考慮

第 1 行有 b_1 點;
第 2 行有 b_2 點;
第 3 行有 b_3 點;
…諸如此類,

得到(比方說):

johnmayhk-dots1

(即 b_1=7,b_2=5,b_3=4,\dots

於是點的總數為

b_1+b_2+b_3+\dots

但若考慮列,如圖所示,

第 1 列有 5 點,表示有 5 組人數不少於 1。

由定義,即

第 1 列有 a_1 點。

第 2 列有 5 點,表示有 5 組人數不少於 2。

由定義,即

第 2 列有 a_2 點。

第 3 列有 4 點,表示有 4 組人數不少於 3。

由定義,即

第 3 列有 a_3 點。

如此類推。

因此總點數為

a_1+a_2+a_3+\dots

兩種方法的計算結果應當相同,所以式子成立。

2.證明

a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots=b_1+3b_2+5b_3+\dots

johnmayhk-dots1

把上圖的點「加權」,

第 1 行每點乘「權」1;
第 2 行每點乘「權」3;
第 3 行每點乘「權」5;

第 k 行每點乘「權」2k-1

諸如此類,

故加權點數總和為

b_1+3b_2+5b_3+\dots

現在考慮列,

第 1 列的加權點數和是 1+3+5+\dots+(2a_1-1)=a_1^2
第 2 列的加權點數和是 1+3+5+\dots+(2a_2-1)=a_2^2
第 3 列的加權點數和是 1+3+5+\dots+(2a_3-1)=a_3^2

諸如此類,

故加權點數總和為

a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots

兩種方法的計算結果應當相同,所以式子成立。

3.證明

b_1^2+b_2^2+b_3^2+\dots=a_1+3a_2+5a_3+\dots

與之前證明類似。

2 則迴響 »

  1. 打錯字:b_1 + 3 b_2 + 5 b_3…(not 5 b_5) ,similarly,a_1 + 3 a_2 + 5 a_3…

    迴響 由 EMK — 2014/08/09 @ 12:49 下午 | 回覆


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