Quod Erat Demonstrandum

2014/08/10

簡單數算

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:44 下午
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欣賞數學,有時不是結果,而是在乎過程:美麗證明。

上次談過利用數算來證明

1+2+3+\dots +(n-1)=C^n_2

https://johnmayhk.wordpress.com/2011/12/21/simple-counting/

現在談另一個。

考慮下圖

johnmayhk-triangular-binomial-1

易知黃圈總數為 1+2+3+4+5

現在利用白圈來數算黃圈數目。原來:每個黃圈都一一對應著兩個白圈。

為方便討論,把白圈編號如下:

johnmayhk-triangular-binomial-2

比方說,黃圈 A

johnmayhk-triangular-binomial-2a

用倒轉 V 字找出它對應白圈 {2,5},見下

johnmayhk-triangular-binomial-2b

又例如黃圈 B

johnmayhk-triangular-binomial-2c

用倒轉 V 字找出它對應白圈 {3,5},見下

johnmayhk-triangular-binomial-2d

這樣,每個黃圈都一一對應著兩個白圈。在 6 個白圈選 2 個,共 C^6_2 種方法。於是

1+2+3+4+5=C^6_2

一般地,

1+2+3+\dots +(n-1)=C^n_2

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