Quod Erat Demonstrandum

2014/09/06

a(1-a)

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 7:30 下午

以下是中四數學某題:證明

a(1-a)\le \frac{1}{4}

學了二次函數,不難知 a(1-a) 的最大值是 \frac{1}{4}(利用配方法又可,背公式也可~)幾步 K.O.

現在利用初中數學解之。

考慮邊長為 1 的正方形,畫條對角線,見下:

johnmayhk-a-times-one-minus-a-1

參考下圖,考慮長方形,其底邊長 a 單位(其中 0 < a < 1),而該長方形某角在正方形之對角線上,那麼長方形的闊,必然長 1-a 單位。(為何?)

johnmayhk-a-times-one-minus-a-2

如此,a(1-a) 代表該長方形的面積。

但這長方形的面積,必不超過上圖中的三角形面積之一半,理由詳見:

https://johnmayhk.wordpress.com/2008/07/25/simple-econ-question/

即是說

a(1-a)\le \frac{1}{4} for 0 < a < 1

另外,不難知:

a(1-a)\le 0 for a \le 0 or a \ge 1

(為何?)

所以結論是

a(1-a)\le \frac{1}{4} for any real number a

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