Quod Erat Demonstrandum

2014/09/07

數算題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:13 下午
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以下是純數某基本題,證明

nC^{2n-1}_{n-1}=(C^n_1)^2+2(C^n_2)^2+3(C^n_3)^2+\dots +n(C^n_n)^2

現在用 core mathematics 的方法處理。

有男生 n 人,女生 n 人。

從這 2n 人選出 n 人組成班會,其中一人是主席,且主席一定要是男生。

那麼,總共有多少種選法?

先選一個男生作主席,共 C^n_1=n 種選法。

再從餘下的 (2n-1) 人中選 (n-1) 人作班會成員,共 C^{2n-1}_{n-1} 種選法。

故班會成員共有 nC^{2n-1}_{n-1} 種選法。

好了,現在以另一個方式數算之。

在 n 個男生中選 k 人(k = 1,2,…,n)共 C^n_k 種選法。

這 k 人中選 1 人作主席,有 k 種方法,即選男生共 kC^n_k 種方法。

再在 n 個女生中選 (n-k) 人,有 C^n_{n-k}=C^n_k 種選法。

所以,在選 k 個男生出來的前題下,班會成員共有 (kC^n_k)(C^n_k)=k(C^n_k)^2 種選法。

因 k 可以是 1,2,…,n,故班會成員共有

(C^n_1)^2+2(C^n_2)^2+3(C^n_3)^2+\dots +n(C^n_n)^2

種選法。

即是說

nC^{2n-1}_{n-1}=(C^n_1)^2+2(C^n_2)^2+3(C^n_3)^2+\dots +n(C^n_n)^2

johnmayhk-syz

注:純數的做法是利用 binomial theorem 及 differentiation,兩三步 K.O. 這題。

2 則迴響 »

  1. 恆等式左邊的(n-1)和(2n-1)上下倒轉了。

    迴響 由 EMK — 2014/09/07 @ 12:20 下午 | 回覆


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