Quod Erat Demonstrandum

2014/11/28

某 m2 題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 4:34 下午
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堂上給學生做習題,是來自 2009 年的 hkdse math(M2) sample paper Q.9

johnmayhk-M2-sample-paper-Q9

Part (c) 的建議答案,考慮

考慮 \overrightarrow{v}\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} 的線性組合(linear combination),即 (more…)

2014/11/14

M2 堂偶拾

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:19 下午
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linear_algebra_for_game_developers
教 vector 時,堂上偶得:

1.

\cos^{-1}\frac{4}{5}+2\tan^{-1}\frac{1}{2}=90^o

其實沒有甚麼特別,只要考慮邊長 1 單位的正方形如下:

johnmayhk-20141114

比如利用 vector 或 cosine formula,不難得 (more…)

2014/11/03

存在非平凡解的齊次線性方程組

Filed under: NSS,Teaching — johnmayhk @ 4:08 下午
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以下是一道普通的 M2 題目:

已知以下線性聯立方程有非平凡解(non-trivial solution)

\left \{ \begin{array}{ll} 2x+(2+k)y+2z=0\\(4+k)x+2y+5z=0\\7x+3y+(6+k)z=0\end{array}\right.

k 值。

因方程組是齊次的(homogeneous),要有非平凡解,只要設 \Delta=0,即

\left|\begin{array}{ccc}2 & 2+k & 2\\4+k & 2 & 5\\7 & 3 & 6+k\end{array}\right|=0

便可,從而解出

k=1,-1,-12

但有同學利用 Gaussian elimination,得

\left(\begin{array}{cccc}2 & 2+k & 2 & 0\\4+k & 2 & 5 & 0\\7 & 3 & 6+k & 0\end{array}\right)

~\left(\begin{array}{cccc}1 & \frac{k}{2}+1 & 1 & 0\\7 & 3 & 6+k & 0\\4+k & 2+k & 5 & 0\end{array}\right)

~\left(\begin{array}{cccc}1 & \frac{k}{2}+1 & 1 & 0\\ 0 & -\frac{7k}{2}-4 & k-1 & 0\\ 0 & -\frac{k^2}{2}-3k-2 & 1-k & 0\end{array}\right)

~\left(\begin{array}{cccc}1 & \frac{k}{2}+1 & 1 & 0\\ 0 & -\frac{7k}{2}-4 & k-1 & 0\\ 0 & -\frac{k^2}{2}-\frac{13k}{2}-6 & 0 & 0\end{array}\right)

因方程組有非平凡解,觀察上述第三式,即

-\frac{k^2}{2}-\frac{13k}{2}-6=0

解出

k=-1,-12

咦,奇怪了,一早知 k=1,-1,-12,為何用 Gaussian elimination,得不到 k=1 這個可能值?

::: 停一停,想一想 ::: (more…)

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