Quod Erat Demonstrandum

2014/11/03

存在非平凡解的齊次線性方程組

Filed under: NSS,Teaching — johnmayhk @ 4:08 下午
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以下是一道普通的 M2 題目:

已知以下線性聯立方程有非平凡解(non-trivial solution)

\left \{ \begin{array}{ll} 2x+(2+k)y+2z=0\\(4+k)x+2y+5z=0\\7x+3y+(6+k)z=0\end{array}\right.

k 值。

因方程組是齊次的(homogeneous),要有非平凡解,只要設 \Delta=0,即

\left|\begin{array}{ccc}2 & 2+k & 2\\4+k & 2 & 5\\7 & 3 & 6+k\end{array}\right|=0

便可,從而解出

k=1,-1,-12

但有同學利用 Gaussian elimination,得

\left(\begin{array}{cccc}2 & 2+k & 2 & 0\\4+k & 2 & 5 & 0\\7 & 3 & 6+k & 0\end{array}\right)

~\left(\begin{array}{cccc}1 & \frac{k}{2}+1 & 1 & 0\\7 & 3 & 6+k & 0\\4+k & 2+k & 5 & 0\end{array}\right)

~\left(\begin{array}{cccc}1 & \frac{k}{2}+1 & 1 & 0\\ 0 & -\frac{7k}{2}-4 & k-1 & 0\\ 0 & -\frac{k^2}{2}-3k-2 & 1-k & 0\end{array}\right)

~\left(\begin{array}{cccc}1 & \frac{k}{2}+1 & 1 & 0\\ 0 & -\frac{7k}{2}-4 & k-1 & 0\\ 0 & -\frac{k^2}{2}-\frac{13k}{2}-6 & 0 & 0\end{array}\right)

因方程組有非平凡解,觀察上述第三式,即

-\frac{k^2}{2}-\frac{13k}{2}-6=0

解出

k=-1,-12

咦,奇怪了,一早知 k=1,-1,-12,為何用 Gaussian elimination,得不到 k=1 這個可能值?

::: 停一停,想一想 :::

這裡小心,我們正考慮齊次方程組。

就算

-\frac{k^2}{2}-\frac{13k}{2}-6\neq 0

(即 k \neq -1 and k \neq -12

原方程組也可以有非平凡解,因為當

-\frac{k^2}{2}-\frac{13k}{2}-6\neq 0

由第三式,得

y=0

再由第二式,得

(-\frac{7k}{2}-4)(0)+(k-1)z=0

\Rightarrow (k-1)z=0

故此,只要

k-1=0

原式也可以出現非平凡解。

這樣,利用 Gaussian elimination 後,除了考慮第三式,還要考慮第二式,才得出 k=1

處理存在非平凡解的齊次線性方程組,似乎考慮 \Delta=0 較簡便。

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