Quod Erat Demonstrandum

2014/11/14

M2 堂偶拾

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:19 下午
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linear_algebra_for_game_developers
教 vector 時,堂上偶得:

1.

\cos^{-1}\frac{4}{5}+2\tan^{-1}\frac{1}{2}=90^o

其實沒有甚麼特別,只要考慮邊長 1 單位的正方形如下:

johnmayhk-20141114

比如利用 vector 或 cosine formula,不難得

\cos^{-1}\frac{2m}{1+m^2}+2\tan^{-1}m=90^o  (0\le m\le 1

2.

(a) 問 x 是何值使

(\frac{x+6}{x+1})^2+(\frac{5x-3}{x+1})^2

達到最小值?

不想用微積分,可以利用 vector 處理:

設 A(1,5),當中 1 和 5 分別是 x+65x-3x 係數;

設 B(6,-3),當中 6 和 -3 分別是 x+65x-3 的常數項;

設 C 是直線 AB 上某點,其中 AC : CB = 1 : x,那麼利用 section formula,易知

\overrightarrow{OC}=(\frac{x+6}{x+1})\hat{i}+(\frac{5x-3}{x+1})\hat{j}

留意到

|\overrightarrow{OC}|^2=(\frac{x+6}{x+1})^2+(\frac{5x-3}{x+1})^2

平面上,當 C 在直線 AB 上變動,|\overrightarrow{OC}|(即線段 OC 的長度)何時最小?就是當 OC \perp AB 時。於是有

\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{AB}=0

\Rightarrow ((\frac{x+6}{x+1})\hat{i}+(\frac{5x-3}{x+1})\hat{j})\cdot (5\hat{i}-8\hat{j})=0

\Rightarrow \frac{x+6}{x+1}(5)+\frac{5x-6}{x+1}(-8)=0

\Rightarrow x=\frac{54}{35}

循上述討論,進一步問:

(b) 求 (\frac{x+6}{x+1})^2+(\frac{5x-3}{x+1})^2 的最小值。

x=\frac{54}{35} 代進去吧?

不用的,甚至連 x 都不用求出來。(注:利用微積分也要先求 x 吧~)

只要想一想,\sqrt{(\frac{x+6}{x+1})^2+(\frac{5x-3}{x+1})^2} 是 OC 的長度,

而當 OC 的長度最小,即 OC \perp AB 時,

OC 的長度就是 O 和直線 AB 的 perpendicular distance。

本例,易知直線 AB 的方程為 8x+5y-33=0

由以前附加數課程,O 和 AB 的 perpendicular distance 是極易求出如下:

|\frac{8(0)+5(0)-33}{\sqrt{8^2+5^2}}|

=\frac{33}{\sqrt{89}}

(\frac{x+6}{x+1})^2+(\frac{5x-3}{x+1})^2 的最小值就是 (\frac{33}{\sqrt{89}})^2=\frac{1089}{89}

這樣,不用微積分,也可求出 (\frac{ax+b}{x+1})^2+(\frac{cx+d}{x+1})^2 的最小值了。

不過,更一般地,處理

\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}

的所謂最大最小值問題,也可利用判別式 \Delta,不需微積分甚麼吧~

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