Quod Erat Demonstrandum

2014/11/28

某 m2 題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 4:34 下午
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堂上給學生做習題,是來自 2009 年的 hkdse math(M2) sample paper Q.9

johnmayhk-M2-sample-paper-Q9

Part (c) 的建議答案,考慮

考慮 \overrightarrow{v}\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} 的線性組合(linear combination),即

\overrightarrow{v}=p\overrightarrow{OA}+q\overrightarrow{OB} (其中 p,q 為非零實數)

易知 \overrightarrow{v}\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} 共面。

再加它上 \overrightarrow{OC},即把 \overrightarrow{v} 平移到另一個面,和 OBDA 的距離,剛好是平行六面體的高度,即

\overrightarrow{OC'}=3\hat{i}+\hat{j}+5\hat{i}+p\overrightarrow{OA}+q\overrightarrow{OB}=(3+4p)\hat{i}+(1+3p+3q)\hat{j}+(5+q)\hat{k} (其中 p,q 為非零實數)

上法要透過線性組合解題,這技巧相信不是全部修 M2 的學生也純熟。

其實 Part (c) 不過要求一支可能的向量 \overrightarrow{OC'},那麼隨便選取也可。

比如取

\overrightarrow{OC'}=-\overrightarrow{OC}=-(3\hat{i}+\hat{j}+5\hat{i})

由於

\overrightarrow{OC'}\overrightarrow{OC} 平行且大小(magnitude)一樣,所以該平行六面體不變。

又或由 Part (b) 計算體積時有

\left|\begin{array}{ccc}4 & 3 & 0\\ 0 & 3 & 1\\3 & 1 & 5\end{array}\right|=65

隨便設

\left|\begin{array}{ccc}4 & 3 & 0\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & z\end{array}\right|=65

解出

z=\frac{65}{12}

即取

\overrightarrow{OC'}=\frac{65}{12}\hat{k}

也可。

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