Quod Erat Demonstrandum

2014/12/24

由零開始

Filed under: Fun — johnmayhk @ 5:31 下午
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相信有些讀者對以下舊題毫不陌生:

(1936 年的莫斯科奧數題目)

證明任何正整數皆可表成三個 2 和一些數學符號的組合。(見下 2.1.3)

johnmayhk-om-1936
(摘自:https://zh.scribd.com/doc/243423156/56/Answers-to-selected-problems-of-Moscow-mathematical-circles

只要觀察:

1=-\log_2\log_2\sqrt{2}

2=-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{2}}

3=-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}

4=-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}

如此類推,不難想像,要製作正整數 n,只要 3 個 2 和 n 個開方根號便可。

現在問:由零開始,可否製造出所有正整數呢?

johnmayhk-start-from-zero

::: 停一停,想一想 :::

可以的,設

\tan\theta = x

\Rightarrow \sec\theta=\sqrt{1+x^2}

\sec\tan^{-1}x=\sqrt{1+x^2}

好了,由零開始,

\sec\tan^{-1}(0)=1

\sec\tan^{-1}(1)=\sqrt{2}

\sec\tan^{-1}(\sqrt{2})=\sqrt{3}

\sec\tan^{-1}(\sqrt{3})=\sqrt{4}

即是說,由零開始,加上 n^2 個 operators \sec\tan^{-1} 便可得到 n

如是者,或可簡單些:

f(x)=x+1,則 f(f(f(...(0)...)))=n(共 nf

無聊鳥,anyway,大家放假輕鬆吓吧~

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