Quod Erat Demonstrandum

2015/01/09

推特老題

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 3:26 下午
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早前在推特見:

johnmayhk-question-in-twitter

他們討論著,並表示不知道如何得出如此美妙式子。

如何美妙?修 M1,M2 的同學應該不難察覺,式子包含二項系數(binomial coefficients),

11
121
1331
14641

並且,把等號左邊的項加起來,得右邊單項式作分子云云。

但有修純數的人,相信很快察覺,那不過是一道有關部份分式(partial fractions)的基本題目(搖頭中)。Okay,做數時間。

just_do_it

朋友或不能第一時間看出式子右邊分子的系數:1,2,6,24,… 有何特別,

johnmayhk-question-in-twitter

不要緊,只要考慮分解下式

\frac{x^k}{(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}

成為部份分式,

但不要忘記,上述有理分式是 improper 的,所以要先把分子除以分母,得出 proper 的分式才可開始分解,即

\frac{x^k}{(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}=1+\frac{x^k-(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}{(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}

\frac{x^k-(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}{(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}\equiv \frac{a_1}{x+1}+\frac{a_2}{2x+1}+\dots +\frac{a_k}{kx+1}

右邊通分母,再比較左右兩邊的分子,得

x^k-(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)

\equiv a_1(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)+a_2(x+1)(3x+1)\dots (kx+1)+a_3(x+1)(2x+1)(4x+1)\dots (kx+1)+\dots +a_k(x+1)(2x+1)\dots ((k-1)x+1) ………….. (*)

留意,右邊共 k 項,每項都是形如

a_r(x+1)(2x+1)\dots (kx+1),這裡只有 k-1 個括弧,因為當中沒有了 (rx+1)

要得 a_r,我們在式 (*) 代入 x=-\frac{1}{r},得

(-\frac{1}{r})^k=a_r(-\frac{1}{r}+1)(-\frac{2}{r}+1)(-\frac{3}{r}+1)\dots (-\frac{r-1}{r}+1)(-\frac{r+1}{r}+1)(-\frac{r+2}{r}+1)\dots (-\frac{k}{r}+1)

\frac{(-1)^k}{r}=a_r(r-1)(r-2)\dots(3)(2)(1)(-1)(-2)\dots(-(k-r))=a_r(r-1)!(-1)^{k-r}(k-r)!

a_r=\frac{(-1)^rC^k_r}{k!}

即是說

\frac{x^k}{(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}

=\frac{1}{k!}-\frac{C^k_1}{k!(x+1)}+\frac{C^k_2}{k!(2x+1)}-\frac{C^k_3}{k!(3x+1)}+\dots+\frac{(-1)^rC^k_r}{k!(kx+1)}

可見二項系數 C^k_r 出現鳥~

比如以 n 取代 x,考慮 k=5,得

\frac{n^5}{(n+1)(2n+1)(3n+1)(4n+1)(5n+1)}=\frac{1}{5!}(1-\frac{5}{n+1}+\frac{10}{2n+1}-\frac{10}{3n+1}+\frac{5}{4n+1}-\frac{1}{5n+1})

也一併看出原式右邊分子的系數:1,2,6,24,… 的通項是 n! 了。

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