Quod Erat Demonstrandum

2015/02/21

表面面積

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 7:47 下午
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古語有云:「我鍾意食水果,每一個國家必須要食。」過年期間更要多吃水果,有助消化。

受網友啟發,兼剛開始教球體表面面積,於是找來一個乜乜乜橙:

johnmayhk-orange-sphere-1 (more…)

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2015/02/20

鈄截柱體體積

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS,Physics — johnmayhk @ 8:25 下午
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1.緣起

某次中三共同備課堂,同事甲提出證明錐體體積的方法,如下:

考慮一個鈄截正三角柱體(truncated right triangular prism),即三條側棱皆與底垂直者:

johnmayhk-volume-3

設側棱長度分別為 h_1,h_2,h_3。因其體積是底面積 A 乘以「平均高度」,即鈄截正三角柱體的體積為

V=A\frac{h_1+h_2+h_3}{3}

於是對於錐體,其底面積為 A,高為 h 者,

johnmayhk-volume-4

只要代入 h_1=h_2=0h_3=h,便知其體積是

V=A\frac{0+0+h}{3}=\frac{1}{3}Ah (more…)

2015/02/17

數算球入盒

Filed under: mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:40 上午
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基本問題:把若干球放入若干盒子,共多少種放法?下表是總結:

johnmayhk-balls-and-boxes-01

以下 3 個情況屬 core mathematics 的範圍:

(一) (more…)

2015/02/03

玩 nCr

Filed under: Fun,NSS — johnmayhk @ 3:30 下午
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網遊時偶見有個結果:

C^{m+n}_2=C^m_2+C^n_2+mn

若要學生證之,他們或以

C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}

作代數運算。

但以數算(counting)概念處理,甚易。

count-clipart-royalty-free-counting-clipart-illustration-1048674

只要(比方說)考慮 (more…)

2015/02/01

黑白球

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 10:33 上午
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同事擬某基本概率題:

In a game, Evan has to draw balls from a bag containing 2 black balls and 3 white balls one by one without replacement. If he gets two consecutive black balls, he wins; otherwise he loses. Find the probability that he wins.

標準答案如下:

P(wins)
=P(BB)+P(WBB)+P(WWBB)+P(WWWBB)
=\frac{2}{5}\frac{1}{4}+\frac{3}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2}+\frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{1}{3}
=\frac{2}{5}

有沒有留意,盒內共有 5 球,黑球 2 個,\frac{2}{5} 就是從盒取 1 球,得黑球之機會。

試用別的例:盒內共有 7 球,黑球 3 個,Evan 取勝之機會,按標準答案之做法:

\frac{3}{7}\frac{2}{6}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{3}{5}\frac{2}{4}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{1}{4}=\frac{3}{7}

看,又是等於在盒子取 1 球,得黑球之機會。

black white balls

這逼使我想:是否存在簡單方法處理原問題及其一般情況?結果如下。 (more…)

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