Quod Erat Demonstrandum

2015/02/01

黑白球

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 10:33 上午
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同事擬某基本概率題:

In a game, Evan has to draw balls from a bag containing 2 black balls and 3 white balls one by one without replacement. If he gets two consecutive black balls, he wins; otherwise he loses. Find the probability that he wins.

標準答案如下:

P(wins)
=P(BB)+P(WBB)+P(WWBB)+P(WWWBB)
=\frac{2}{5}\frac{1}{4}+\frac{3}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2}+\frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{1}{3}
=\frac{2}{5}

有沒有留意,盒內共有 5 球,黑球 2 個,\frac{2}{5} 就是從盒取 1 球,得黑球之機會。

試用別的例:盒內共有 7 球,黑球 3 個,Evan 取勝之機會,按標準答案之做法:

\frac{3}{7}\frac{2}{6}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{3}{5}\frac{2}{4}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{1}{4}=\frac{3}{7}

看,又是等於在盒子取 1 球,得黑球之機會。

black white balls

這逼使我想:是否存在簡單方法處理原問題及其一般情況?結果如下。

(一)設盒內共有 n 球(n\ge 2),黑球 2 個。求連取 2 黑球之機會。

把黑球名之曰 1,2;其它球是 3,4,5,…,n。

那麼樣本空間不過包含 n 個不同的球在排隊,故 n(S) = n!

要兩黑球連續出現,只要視兩黑球為同一球,故排法有 (n-1)! 種,但兩黑球的排法有 (1,2) 和 (2,1) 兩種,故 n(E) = 2*(n-1)!

所以,

P(E)=\frac{2\times (n-1)!}{n!}=\frac{2}{n}

(二)設盒內共有 n 球,黑球 m 個(n\ge m)。求連取 m 黑球之機會。

以(一)的考慮方式,得

P(E)=\frac{(n-m+1)!m!}{n!}=\frac{n-m+1}{C^n_m}

(三)設盒內共有 n 球,黑球 m 個(n\ge m\ge 2)。求連取 2 黑球之機會。

由(二)的答案出了啟示,出現 C^n_m,代表不一定要考慮樣本空間的元為有序的。

為舉例,設盒內共有 n=7 球,黑球有 m=3 個。

現不為球編號,即 3 個黑球不能分辨,4 個白球也不能分辨。樣本空間的元,例如有

●○●○●○○
○○●●○●○

等。

即 7 個不同的位置找 3 個放黑球,即 n(S)=C^7_3

連續兩個位放黑球,如

○○●●○●○
●●○●○○○
○●●●○○○

等,有多少組合方式?因球不可分辨,不妨視兩黑球為同一球,即盒中好像只有 7-1=6 球,而上述 3 個元就對應著以下情況:

○○●○●○
●○●○○○
○●●○○○

要數算有多少組合,就是在 7-1=6 個位置,找 3-1=2 個位置放黑球,即 n(E)=C^{7-1}_{3-1};於是

盒內共有 n 球,黑球 m 個(n\ge m\ge 2),連取 2 黑球之機會

P(E)=\frac{C^{n-1}_{m-1}}{C^n_m}=\frac{m}{n}

這就相當於盒內共有 n 球,黑球 m 個,取 1 球得黑球之機會也。

(四)設盒內共有 n 球,黑球 m 個(n\ge m\ge r)。求連取 r 黑球之機會。

留給讀者破之。

當然同事的卷不淺,後續問條件概率,也要服從標準答案的方法。

Also read

https://johnmayhk.wordpress.com/2014/02/21/a-question-about-probability/

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/13/core-math-problem-probability/

1 則迴響 »

  1. Just suggest another solution to the original question:

    Since there are 2 black (indistinguishable) balls in a box of 5 balls, the probability that a black ball is drawn at the 1st,2nd,3rd,4th,5th drawings is 2/5.

    Under the condition that a black ball is drawn at the i-th drawing (i=1,2,3,4), the (conditional) probability that the other black ball is drawn at the (i+1)th drawing is 1/4.

    Hence, the probability that two black balls are drawn at the ith and (i+1)th drawing is (2/5)(1/4)=1/10.

    Since i=1,2,3 or 4;

    the probability that two black balls are drawn consecutively is 4*(1/10)=2/5.

    迴響 由 johnmayhk — 2015/02/02 @ 11:07 上午 | 回覆


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