Quod Erat Demonstrandum

2015/02/20

鈄截柱體體積

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS,Physics — johnmayhk @ 8:25 下午
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1.緣起

某次中三共同備課堂,同事甲提出證明錐體體積的方法,如下:

考慮一個鈄截正三角柱體(truncated right triangular prism),即三條側棱皆與底垂直者:

johnmayhk-volume-3

設側棱長度分別為 h_1,h_2,h_3。因其體積是底面積 A 乘以「平均高度」,即鈄截正三角柱體的體積為

V=A\frac{h_1+h_2+h_3}{3}

於是對於錐體,其底面積為 A,高為 h 者,

johnmayhk-volume-4

只要代入 h_1=h_2=0h_3=h,便知其體積是

V=A\frac{0+0+h}{3}=\frac{1}{3}Ah

同事乙立即指出,若非考慮三角,而是四角鈄截柱體,其體積

V=A\frac{h_1+h_2+h_3+h_4}{4}

豈不是錯誤地推出錐體體積是

V=\frac{1}{4}Ah

嗎?

那刻我非常開心,因為有可以研究的問題了!

(注:和同事一樣,覺得教科書沒有好好證明體積公式,想向學生介紹一二,於是我曾於 2007 年在學校數學周談了題為「槓杆原理與牟合方蓋」的所謂講座,ppt 檔見下:https://dl.dropboxusercontent.com/u/19150457/SFXC/johnmayhk-talk-2007.pps

2.古法

向初中學生解說錐體體積公式之來源,先考慮三角錐體

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把底部(藍色部份)向上平移,使頂點到達錐體頂角(見上圖右)。把上面的三角頂點連線到底部的對應頂點,生成一個鈄柱體(見下圖)

johnmayhk-volume-6

這個鈄柱體的體積是底面積乘以高(高即兩個藍色三角面的距離),證明?不過是祖暅原理:「緣冪勢既同,則積不容異」吧,不多說了。

把柱體之角名之,連 BD,見下

johnmayhk-volume-7

可見柱體被分成三個錐體:VABC,BVED 和 VCDB。

現在要證明這三個錐體的體積是一樣的。

先有這個事實:若兩個錐體有相同的高及相同的底面積,則兩個錐體體積也相同。(為何?)

VABC 和 BVED 有同樣的底面積和高,故體積相同。

至於 BVED 和 VCDB,若視它們的底分別為 EBC 和 CDB;那麼 BVED 和 VCDB 是等高的(高是 V 和 EBCD 的距離);且易知 EBC 和 CDB 的面積相同(因為 EBCD 是平行四邊形),故 BVED 和 VCDB 的體積相同。

所以 VABC,BVED 和 VCDB 體積相同,於是

VABC 的體積是鈄柱體體積的 \frac{1}{3},即三角錐體體積是 \frac{1}{3}Ah

進而,對一般的錐體,只要把底進行三角化,便可以把它分割成若干個等高的三角錐體,於是原來錐體的體積亦是 \frac{1}{3}Ah

3.最快捷方法

向懂微積分的中學生解說錐體體積公式之來源,如下:

考慮底面積(注:底不一定是三角形)為 A,高為 h

johnmayhk-volume-1

考慮距離錐體頂點 V,z 單位的位置,平行底部的橫切面。面積和 z 有關,或曰,面積是 z 的函數 ,故可設該橫切面的面積為 A(z),見下

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易知橫切面和底部相似(相似中心為錐體頂點 V),故

\frac{A(z)}{A}=(\frac{z}{h})^2\Rightarrow A(z)=\frac{A}{h^2}z^2

於是,錐體體積是

\displaystyle \int_{z=0}^{z=h}A(z)dz =\displaystyle \int_{0}^{h}\frac{A}{h^2}z^2dz =\frac{Ah}{3}

證畢。

4. 由錐體體積推算鈄截柱體體積

好了,回看那個鈄截正三角柱體:

johnmayhk-volume-3

其體積真是 V=A\frac{h_1+h_2+h_3}{3} 嗎?

是。證明?如果知道錐體體積公式為 \frac{Ah}{3} 的話,可以著初中同學證明一下,之前叫中三同學玩過。下圖中,設 b = min{a,b,c},三角形 GEH 平行三角形 ABC。而 [ABC],[DGHF] 分別代表 ABC 及 DGHF 的面積。

johnmayhk-volume-8

5. 直接推算鈄截柱體體積

現在,不使用錐體體積公式,如何證明 V=A\frac{h_1+h_2+h_3}{3}

先溫習一下形心(centroid)與面積重心(area centroid)的概念,其實都是與物理上的重心(centre of gravity)有關。(注:讀者若已屬知這些概念,可直接看 d.主要證明

a.形心

對於三角形,形心指中線(medians)的交點。若三角形在 x-y 平面上,頂點為 (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) 則形心坐標為 (\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})。如果考慮 n 邊形(n > 3),頂點為 (x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots (x_n,y_n) 則形心坐標為 (\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n},\frac{y_1+y_2+\dots +y_n}{n})。那麼這個形心其實有何意義?詳見如下:

先考慮兩個質點,質量為 mM

johnmayhk-volume-e

設此物體之(物理上的)重心距離質量 m 的質點 r 的位置(見圖),粗略地說,就是可以平衡整個物體的位置;考慮力矩(moment)大小相等,即

mgr=Mgs \Rightarrow \frac{r}{s}=\frac{M}{m}

現考慮 n 個相同質量(比如質量為 m)的質點,分別放在 n 邊形的頂點上,那麼這個總質量為 nm 的物體,其重心在哪?

原來 (\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n},\frac{y_1+y_2+\dots +y_n}{n}) 就是重心的位置。

現以 M.I. 證之。

為方便,設 \overrightarrow{r_i}=(x_i,y_i),其中 i=1,2,\dots ,n

n=1,物體是單一質點,重心當然在它所在位置 (x_1,y_1)

假設對於任何 k 個質量相同的質點,重心在 \frac{\displaystyle \sum^k_{i=1}\overrightarrow{r_i}}{k} 這位置。

考慮 n=k+1 個質量為 m 的質點,當中頭 k 個質點,等效於一個質量為 km 的質點,安放在 \frac{\displaystyle \sum^k_{i=1}\overrightarrow{r_i}}{k} 的位置;再加上放在 \overrightarrow{r}_{k+1} 的位置,質量為 m 的質點,設此物體(兩個質量分別為 mkm 的質點)之重心距離質量 m 的質點 r 的位置。由上式 \frac{r}{s}=\frac{M}{m} 及分點公式(section formula),知重心位置在

\frac{k}{k+1}\frac{\sum^k_{i=1}\overrightarrow{r_i}}{k}+\frac{1}{k+1}\overrightarrow{r}_{k+1}=\frac{\displaystyle \sum^{k+1}_{i=1}\overrightarrow{r_i}}{k+1}

證畢。

b.面積重心

考慮平面圖形和某條在其同一平面的固定直線,見下:

johnmayhk-volume-9

定義面積重心距離該固定直線之距離為

\frac{\int xdA}{A}

其中 A 是該圖形之面積。

若把圖形安放在 x-y 平面,面積重心之坐標 (x_c,y_c)

x_c=\frac{\int \int xdxdy}{A}

y_c=\frac{\int \int ydxdy}{A}

那麼面積重心之物理意義為何?考慮一塊質量均勻分佈的薄片,那麼面積重心就是該薄片之重心。證明簡單,不贅。

c.三角形的形心與面積重心必然重疊

考慮三角形的面積重心之位置,比方說,求面積重心和底之距離。

設三角形的底和高分別為 bh

johnmayhk-volume-a

面積重心和底之距離是

\frac{\int_ApdA}{A}=\frac{\int_0^hp(\frac{h-p}{h})bdp}{\frac{1}{2}bh}=\frac{h}{3}

可見,面積重心和三角形任何一條邊之距離,也是以該邊為底之高的 \frac{1}{3}

而三角形的形心與頂點和形心與對邊中點之距離比為 1:2,

johnmayhk-volume-b

即形心和三角形任何一條邊之距離,也是以該邊為底之高的 \frac{1}{3}

於是,對於三角形,面積重心和形心重疊。

d.主要證明

考慮正鈄截三角柱體

johnmayhk-volume-3

設其底,B,放在 x-y 平面上。若截面方程為 z=ax+by+c,則該立體之體積為

\int \int_B zdxdy=\int \int_B (ax+by+c)dxdy

如果把 B 的面積重心放在原點 O,即

\int \int_B xdxdy=\int \int_B ydxdy=0,那麼上式進一步化為 \int \int_B cdxdy=c\int \int_B dxdy

即是說,體積是「c\times 底 B 的面積」,現在要證明 c=\frac{h_1+h_2+h_3}{3}

考慮 B 的頂點坐標為 (a_1,b_1,0), (a_2,b_2,0), (a_3,b_3,0)

johnmayhk-volume-d

因三角形的面積重心與形心重疊,而 B 的面積重心在 O,故 \frac{a_1+a_2+a_3}{3}=\frac{b_1+b_2+b_3}{3}=0

經過 O 垂直 x-y 平面的線(或曰 z-axis)交截面於 (0,0,c)

已知截面的頂點坐標為 (a_1,b_1,h_1), (a_2,b_2,h_2), (a_3,b_3,h_3),故截面的形心為

(\frac{a_1+a_2+a_3}{3},\frac{b_1+b_2+b_3}{3},\frac{h_1+h_2+h_3}{3})=(0,0,\frac{h_1+h_2+h_3}{3})

留意到三面形之形心必然在該三角形上,故

c=\frac{h_1+h_2+h_3}{3}

證畢。

6. 推廣及回應

a.如果不是鈄截正三角柱體?

對於一般的鈄截三角柱體(oblique prism),其體積一定可以是兩個正鈄截三角柱體之和或差,見下圖

johnmayhk-volume-c

所以知道鈄截正三角柱體的體積已足夠。

b.如果不是三角底?

johnmayhk-volume-f

比如上圖的柱體,側棱是 h_1,h_2,h_3,h_4,把底分成兩個三角形(分別對應 h_1,h_2,h_4h_2,h_3,h_4)面積為 A_1,A_2;則鈄截正四角柱體的體積為 A_1(\frac{h_1+h_2+h_4}{3})+A_2(\frac{h_2+h_3+h_4}{3})。留意,上圖側棱頂端的四點並非共面。

c.鈄截正柱體,即側棱頂端的點共面者如何?

一般地,正鈄截柱體之底是 n 邊形(n > 3),其體積不一定是 A(\frac{h_1+h_2+\dots +h_n}{n})。但只要底的形心與其面積重心重疊,則上式正確。略談如下。

留意截面的面積重心垂直影射到底的面積重心:

johnmayhk-volume-g

為何?比如立體的某方向的視圖(view),如下

johnmayhk-volume-h

沿截面的量度為 x',對應沿底量度的距離為 x;若截面和底夾角為 \theta;則 x'\cos\theta =x,則 x'= 某常數 \times x。設底 B 的面積重心在原點 O,那麼截面的面積重心在

\frac{\int \int_{B'}x'dx'dy}{\int \int_{B'}dx'dy}=k\frac{\int \int_{B}xdxdy}{\int \int_{B'}dx'dy}=0

主要證明,知鈄截正柱體的體積為 c\times 底面積,當中 c 是由底的面積重心出發的垂線交截面之交點的 z-坐標,即截面面積重心和底面積重心之相距。因底面積重心與其形心重疊,即截面面積重心也與其形心重疊(想一想

\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n\overrightarrow{r}_i}{n}=0) ,故

c=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^nh_i}{n} ,

即此類鈄截正柱體的體積為

A(\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^nh_i}{n})

d.那麼考慮底的形心與其面積重心重疊的四邊形,推論錐體體積公式為何出錯?

底的形心與其面積重心重疊的四邊形是平行四邊形,設其側棱是 h_1,h_2,h_3,h_4,底面積是 A(\frac{h_1+h_2+h_3+h_4}{4}),那麼代入 h_1=h,h_2=h_3=h_4=0,那麼錐體體積豈不是 \frac{1}{4}Ah 嗎?不對,因為代入 h_1=h,h_2=h_3=h_4=0 是不合理的。因為公式只對底為平行四邊形的斜截正柱體而言才正確,想想,起碼要側棱的四個頂端點共面,即是 h_1,h_2,h_3,h_4 是有關的,不是任意的,不能隨便代入 h_1=h,h_2=h_3=h_4=0

已知截面形心垂直投影於底之形心,

johnmayhk-volume-j

因平行四邊形的對角線互相平分,以某對角線為底的視圖見下:

johnmayhk-volume-i

即中點就是形心,而截面之形心也在中點。故此,若設截面頂點為 \overrightarrow{r'}_1,\overrightarrow{r'}_2,\overrightarrow{r'}_3,\overrightarrow{r'}_4;得 \overrightarrow{r'}_1+\overrightarrow{r'}_3=\overrightarrow{r'}_2+\overrightarrow{r'}_4;可見

h_1+h_3=h_2+h_4

於是,由斜截正三角柱體體積公式(即 A(\frac{h_1+h_2+h_3}{3})),把以平行四邊形為底之斜截正四角柱體分成兩個斜截正三角柱體,故總體積為

\frac{A}{2}(\frac{h_1+h_2+h_3}{3})+\frac{A}{2}(\frac{h_1+h_3+h_4}{3})
=\frac{A}{2}(\frac{2(h_1+h_3)+h_2+h_4}{3})
= A(\frac{h_1+h_3}{2})
= A(\frac{h_1+h_2+h_3+h_4}{4})

驗算正確。

7. 其他

在思考斜截正三角柱體體積的過程,也曾用

1.具體的二重積分;
2.把斜截正三角柱體壓縮成塊截面,截面質量等於柱體總質量,但質量分佈非均勻,而是線性變化;再用積分,可求總質量,從而得總體積。

這些方法當然不及抽象地考慮 \int \int_B zdxdy 簡單。

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  1. 迴響 由 johnmayhk — 2016/02/23 @ 9:11 上午 | 回覆


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