Quod Erat Demonstrandum

2015/03/05

三角形內切圓

Filed under: NSS — johnmayhk @ 10:48 上午
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以下是同事擬的某 MC 題目:直角三角形內有兩圓相切,三角形邊亦是圓的切線,問較小的圓之半徑多長?(見下圖。我懶,只用手機隨便畫,見諒)

johnmayhk-2015mc1

在對卷時同事問,內切圓可以類似模式生成,即

johnmayhk-2015mc2

那麼,有關半徑的數列是否等比數列(G.S.)?

其實這正是 geometric sequence 這課題的常見題目,溫習一下吧:

直角三角形與否並不重要,關鍵是圓心在兩邊夾角的角平分線上,我只畫兩邊:

johnmayhk-2015mc3

設相鄰大小兩圓的半徑分別是 r_1,r_2,現在看看 r_1r_2 有何關係。

\Delta OO_1T_1 \sim \Delta OO_2T_2,知

\frac{r_2}{r_1}=\frac{OO_2}{OO_1}

OO_1=a,則

\frac{r_2}{r_1}=\frac{OO_2}{OO_1}=\frac{a-(r_1+r_2)}{a}

代簡後得

r_2=r_1\frac{a-r_1}{a+r_1}=r_1\frac{a-a\sin\theta}{a+a\sin\theta}=r_1\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}

\theta 是常數,則任何相鄰兩個之半徑之比為常數,即 r_1,r_2,r_3,\dots 是等比數列。

重做同事那題,

johnmayhk-2015mc1

r_1=\frac{6\times 8}{6+8+10}=2

\theta=\tan^{-1}(\frac{6}{8})\div 2=18.43^o

所以

r_2=2\times \frac{1-\sin 18.43^o}{1+\sin 18.43^o}=1.04

(無聊後記)關於無限內切圓的問題,以下是經典題:求下圖中灰圓的總面積。

johnmayhk-2015mc4

不過,可能要用 Möbius transformation 吧~

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