Quod Erat Demonstrandum

2015/03/07

幾條正三角形

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 8:59 下午
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有時在街中,也傅來學生用 fb 或 whatsapp 問數如下,回家答之。可能有更好解法,但我只想到以下解,高手見諒。

從學生甲:

johnmayhk-geometry-jaco1

設 ABC 是正三角形,D 和 E 分別在 BC 和 CA 上。AD 交 BE 於 P。若 AE = DC 及 BQ \perp AD,求 BP : PQ。

johnmayhk-geometry-jaco2

作 ΔFBA,其中 FB = AE;FA = BE。

易知 ΔAEB
\cong ΔCDA (S.A.S.)
\cong ΔBFA (S.S.S.)

故 ∠FAD = 60^o

由構作 F 的過程知 FBEA 是平行四邊形,故 ∠BPQ = 60^o

亦即 BP : PQ = 1/sin∠PBQ = 1/sin30^o = 2

從學生乙:

johnmayhk-geometry-andrew

已知 ∠ABC = 30^o, ∠ADC = 60^o, AD = CD。證明 BD^2=AB^2+BC^2

連 AC,易知 ΔACD 是正三角形。

作點 E 滿足 BE \perp AB 及 BE = BC,

johnmayhk-geometry-andrew2

則易證 ΔBCE 是正三角形。

亦易證 ΔDCB \cong ΔACE(S.A.S.)

故 BD = AE。

不忘記 ΔABE 是直角三角形,故

BD^2=AB^2+BC^2

再貼一貼,很早前在朋友的顏冊見此挑戰題:ABC 是正三角形,求角 BAD 的大小。(不用計算機啊!)

johnmayhk-nice-question

呢題正!

6 則迴響 »

  1. 的確唔錯

    迴響 由 King — 2015/03/07 @ 9:50 下午 | 回覆

  2. 甲題
    我估個答案不受 $lateex AE$ 和 CD 的長度影響, 所以用中線來考慮, 即知答案是 2:1, 所以 \angle PBQ = 30^\circ
    返回題目初頭, 對於任意的 AE 的長度, 不難證明 \angle PBQ = 30^\circ.

    迴響 由 CHIN — 2015/11/22 @ 8:29 下午 | 回覆

    • 對,這是做 MC 的好方法!

      迴響 由 johnmayhk — 2015/11/24 @ 9:43 上午 | 回覆

  3. 最後好正嗰題究竟係點做?好想知。

    迴響 由 Yutaka Juuichi — 2016/06/02 @ 6:24 下午 | 回覆

    • 迴響 由 johnmayhk — 2016/06/09 @ 10:14 上午 | 回覆

      • 太精彩了,唔知係點樣諗出嚟嘅呢

        迴響 由 Yutaka Juuichi — 2016/06/11 @ 11:38 下午


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