Quod Erat Demonstrandum

2015/05/19

某中三三角學題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 11:47 上午
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其一

中三數,某題:

Given that \tan \theta=\sqrt{2}, where \theta is an acute angle. Using trigonometric identities, find the value of \sin^2\theta - \cos^2\theta.

用圖,輕易把 \tan \theta=\sqrt{2} 表之曰

johnmayhk-f3trigonometry1

立即得

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}

故答案是 \frac{1}{3}

然而,如單用 trigonometric identities,學生感困難。

先解如下:

\tan \theta=\sqrt{2} \Rightarrow \sin \theta = \sqrt{2}\cos \theta

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

(\sqrt{2}\cos \theta)^2 + \cos^2\theta = 1

\Rightarrow \cos^2\theta = \frac{1}{3}

\Rightarrow \sin^2\theta = 1-\cos^2\theta=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}

\sin^2\theta - \cos^2\theta=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}

問題是,所謂 trigonometric identities,其來源不過是基於畢氏定理和三角比定義,用圖輔助,當中運算不也是畢氏定理和三角比定義嗎?兩者分別不大,甚至我認為以圖輔助,有紋路,是更好的解。

其二

順便談談擬某類中三數題之法。設

\tan\phi=\frac{a+b\sin\theta}{b\cos\theta}

當中 a,b 為正數,\phi > \theta,求 \theta

以圖輔助,曰

johnmayhk-f3trigonometry2

其中 b 為大三角形內的線段長度(見圖)。

考慮較小的直角三角形,尋找對邊及鄰邊長度,得

johnmayhk-f3trigonometry3

那麼,考慮較大的直角三角形,得以下關係:

\tan\phi=\frac{a+b\sin\theta}{b\cos\theta}

另一方面,只要適當加線,產生新的直角三角形,從而可加以利用,即

johnmayhk-f3trigonometry4

如圖,考慮最上方的直角三角形,得

x=a\sin(90^o-\phi)=a\cos\phi

再考慮相鄰的直角三角形,得

\sin\alpha = \frac{x}{b} = \frac{a\cos\phi}{b}

\alpha = \sin^{-1}\frac{a\cos\phi}{b}

\theta = \phi - \alpha = \phi - \sin^{-1}\frac{a\cos\phi}{b}

可求也。

當然,對於中四修 M2 的同學,這題根本不用繪甚麼圖,運用複角公式(compound angle formula)便好了,即

\tan\phi=\frac{a+b\sin\theta}{b\cos\theta}

\frac{\sin \phi}{\cos \phi}=\frac{a+b\sin\theta}{b\cos\theta}

b\sin \phi \cos\theta=a\cos \phi + b\cos\phi\sin\theta

b(\sin \phi \cos\theta-\cos\phi\sin\theta)=a\cos \phi

\sin(\phi-\theta)=\frac{a\cos\phi}{b}

\phi-\theta=\sin^{-1}\frac{a\cos\phi}{b}

輕易得到

\theta = \phi - \sin^{-1}\frac{a\cos\phi}{b}

閃過腦中:把 M2 的三角學題目,以圖輔助純考慮直角三角形等技巧,或可構作中三數學的(所謂)挑戰題吧?有時間試試。

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