Quod Erat Demonstrandum

2015/07/14

某初中幾何題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 10:53 上午
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看到學生考試表現,隨便可以寫幾個 post 以作賽後檢討。以下是中三數學其中一題的其中一部份:

johnmayhk-f3-geometry-01

圖中長度分別為 6 cm, c cm 及 12 cm 的線段彼此平行,求 c 值。

原本希望學生用(課程定義的那個)intercept theorem 呀,再用 mid-point theorem 呀去處理,但某班學生二話不說,立即寫:

c=\frac{6+12}{2}

正確。但因為沒有給 reasoning steps,所以扣了些分。

這是課程內的基本題,沒有甚麼特別,隨便給個做法。一般地,考慮:

johnmayhk-f3-geometry-02

a,bc。只要把上圖複製,併合如下:

johnmayhk-f3-geometry-03

由平行四邊形對邊長度相等,知

2c=a+b

c=\frac{a+b}{2}

高中同學,你們看到 a,c,b 是一個等差數列(arithmetic sequence)嗎?可是不少中三學生,卻誤以為它是等比數列(geometric sequence),以致在試卷上錯誤地寫上

johnmayhk-f3-geometry-01

\frac{c}{6}=\frac{12}{c}

當然,中三同學應該不熟識等比數列。得出上式,我估或許是受「相似性」影響,比如以為好像相似三角形般,「對應邊」成比例之類。另一個常犯錯誤是誤用 mid-point theorem,認為 12 cm 的那段是「底邊」,因而錯誤地得出

c=\frac{12}{2}

這反映學生對定理掌握得不透徹,只依稀記得 mid-point theorem 是談「某邊是底邊之半」,卻不記得定理的前提:「首先,你要有個…三角形…」

johnmayhk-f3-geometry-04

這樣才有

x=\frac{12}{2}
y=\frac{6}{2}

把問題一般化一些,比如考慮下圖:

johnmayhk-f3-geometry-05

x,y,z 的值。

其實,不難看出 a,x,y,z,b 是等差數列。參考下圖

johnmayhk-f3-geometry-06

留意那些紫色三角形,它們底邊,皆與原先大四邊形的底邊平行。易知那四個三角形彼此全等(congruent)。

設最左的三角形鄰邊長度為 d cm(見圖),那麼,其他紫色三角的鄰邊皆為 d cm,所以

x=a+d
y=a+2d
z=a+3d
b=a+4d

可見 a,x,y,z,b 是等差數列,且由上式,知

d=\frac{b-a}{4}

代之入前三式,得

x=a+(\frac{b-a}{4})=\frac{b+3a}{4}
y=a+2(\frac{b-a}{4})=\frac{2b+2a}{4}
z=a+3(\frac{b-a}{4})=\frac{3b+a}{4}

同學,看到上面三個答案的模式沒有?

更一般地,不只考慮等分,而是把四邊形最上的線段,分兩段其長度比例為 m:n,見下

johnmayhk-f3-geometry-07

c 值。答案就是

c=\frac{mb+na}{m+n}

這正是上面談的「模式」。初中同學,這式子有沒有熟識的感覺?它像分點公式(section formula)嗎?

考慮長度為 a,b,c 的線段皆垂直於 x-軸,則 A,B,C 的 y-坐標分別為 a,b,c

AC:CB=m:n,由分點公式,立即知

c=\frac{mb+na}{m+n}

一般地,長度為 a,b,c 的線段不一定垂直於 x-軸,如下圖所示:

但仍可利用分點公式,得

c'=\frac{mb'+na'}{m+n}

c=\frac{mb+na}{m+n}

(想一想投影吧。)

其實,分點公式不過是考慮相似三角形對應邊成比例而來,所以,要求 c 值,考慮相似三角便可:

初中同學,試試看。

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