Quod Erat Demonstrandum

2015/08/03

小學三角題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:34 下午
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Whatsapp 傳來同事阿仔的暑期功課:在釘板上圍出一個等邊三角形

johnmayhk-equilateral-triangle

我心諗:點解要咁樣玩啲小學生(及其家長)?

上題冇解。

首先要知(而家中學已經 cut 咗嘅知識):

設兩條直線的斜率(slope)分別是 m_1m_2(見圖)

johnmayhk-angle-between-2-lines

則兩條夾角 \theta 可以下式求之:

\tan\theta=|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|

點解?修 M2 的同學試吓考慮 \tan(\alpha-\beta) 及複角公式證明吓(參考以前附加數學 Additional Mathematics 的教科書,基本內容)。

好了,看回原題。

釘板上的點,是格點,即坐標皆是整數者。

那麼,用釘板圍出的三角形,頂點都是格點。

所以,釘板上三角形邊的斜率,必然是有理數。

故此,由上式計出來的 \tan\theta,也必然是有理數。

可是,等邊三角形的夾角是 60^o

\tan 60^o=\sqrt{3} 是無理數,

即是釘板上根本冇可能圍出等邊三角形,

這就「連累」了小朋友和其家長做了大半天也一無所得~

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