Quod Erat Demonstrandum

2015/08/09

某積分

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:06 上午
Tags:

修 M2 的同學懂得求

\int x^2\sqrt{1+x^2}dx

課程告之,方法可以設

x=\tan\theta

之後要處理

\int\sec^3\theta d\theta\int\sec^5\theta d\theta

而得,頗煩,同學可試試。

現在,我運用雙曲函數(hyperbolic functions)解之。何謂雙曲函數?因為現在修 M1 或 M2 的同學接觸過 Euler’s Number (Napier’s Number) e,所以要認識雙曲函數,其實唔難,看看以下連結,特別是 “Useful relations" 及 “Derivatives" 部份:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function

好,做數。

x=\sinh(t)

dx=\cosh(t)dt

\int x^2\sqrt{1+x^2}dx

=\int \sinh^2(t)\sqrt{1+\sinh^2(t)}\cosh(t)dt

=\int \sinh^2(t)\cosh^2(t)dt

(很有倍角公式 double-angle formulae 的感覺吧~)

=\frac{1}{4}\int \sinh^2(2t)dt

=\frac{1}{8}\int (\cosh(4t)-1)dt

=\frac{\sinh(4t)}{32}-\frac{t}{8}+C

現在把上式寫成 function in x 如下:

首先,

\sinh(4t)

=\frac{1}{2}(e^{4t}-e^{-4t})

=\frac{1}{2}(e^{4\ln(x+\sqrt{1+x^2})}-e^{-4\ln(x+\sqrt{1+x^2})})

=\frac{1}{2}((x+\sqrt{1+x^2})^4-(x-\sqrt{1+x^2})^4)

=4x^3\sqrt{1+x^2}+4x(1+x^2)\sqrt{1+x^2}

=4x(2x^2+1)\sqrt{1+x^2}

其次,

x=\sinh(t) \Rightarrow t=\ln(x+\sqrt{1+x^2})

為何?不過是 quadratic equation 而已,見下

x=\sinh(t)

\Rightarrow x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}

\Rightarrow 2xe^t=e^{2t}-1

\Rightarrow y^2-2xy-1=0 (let y=e^t

\Rightarrow y=\frac{2x+\sqrt{4x^2+4}}{2}

\Rightarrow e^t=x+\sqrt{1+x^2}

\Rightarrow t=\ln(x+\sqrt{1+x^2})

所以,

\int x^2\sqrt{1+x^2}dx

=\frac{1}{8}(x(2x^2+1)\sqrt{1+x^2}-\ln(x+\sqrt{1+x^2}))+C

another-way

發表迴響 »

仍無迴響。

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在 WordPress.com 建立免費網站或網誌.

%d 位部落客按了讚: