Quod Erat Demonstrandum

2015/08/25

等邊三角形面積

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 4:03 下午
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教書初年遇此題:

johnmayhk-equil-01

等邊三角形 ABC 內有 P 點,其中 AP = 3 cm, BP = 5 cm, CP = 4 cm,求 ΔABC 面積。

其中一個解法,在 ΔABC 外定點 D,使 DAP 為等邊三角形,見下:

johnmayhk-equil-02

連 CD,見下:

johnmayhk-equil-03

易知 ΔDAC 與 ΔPAB 全等(SAS),故 DC = 5 cm,見:
 
johnmayhk-equil-04

由畢氏定理逆定理,知 ΔCDP 為直角三角形,即角 DPC 為 90 度。另外,角 APD 為 60 度,見下:

johnmayhk-equil-05

於是,考慮 ΔAPC,比如用 cosine formula,易得

AC^2=3^2+4^2-2(3)(4)\cos(90^o+60^o)=25-24(-\frac{\sqrt{3}}{2})=25+12\sqrt{3}

所以 ΔABC 的面積為 \frac{1}{2}(25+12\sqrt{3})\sin 60^o=\frac{25\sqrt{3}}{4}+9 cm^2

自然問,除了 3-4-5,一般情況如何?即給定 d-e-f 的情況,見下:

johnmayhk-equil-06

試寫出計算等邊三角形 ABC 面積之公式。

類似上題想法:做等邊三角形解之。參考下圖,定點 D,E,F 使 ΔAPD, ΔBPF 及 ΔCPE 皆為等邊三角形。

johnmayhk-equil-07

連 AF, BE, CD 得六邊形 AFBECD,見下:

johnmayhk-equil-08

那麼,ΔABC 的面積,就是六邊形 AFBECD 的面積之半。為何?解說如下:

參下圖,易知 ΔACD 和 ΔABP 全等(SAS)。同理得 ΔBAF 和 ΔBCP 全等,及 ΔCBE 和 ΔCAP 全等。所以

[ΔABP] + [ΔBCP] + [ΔCAP] = [ΔACD] + [ΔBAF] + [ΔCBE]

[ΔABC] = \frac{1}{2}[AFBECD]

johnmayhk-equil-09

另外,因 ΔACD 和 ΔABP 全等,知 CD = e,即 ΔCDP 的邊長分別為 d,e,f,見下:

johnmayhk-equil-10

參考下圖,六邊形 AFBECD 由三個等邊三角形,及三個紫色三角形(其邊長皆為 d,e,f 者)組成。(為何三個紫色三角形邊長皆為 d,e,f?看看上面提過的三對全等三角形吧。)

johnmayhk-equil-11

所以

[ΔABC]
= \frac{1}{2}([ΔAPD] + [ΔBPF] + [ΔCPE] + [ΔAFP] + [ΔBEP] + [ΔCDP])
= \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{4}(d^2+e^2+f^2)+3\sqrt{s(s-d)(s-e)(s-f)})

其中

s=\frac{d+e+f}{2}

這裡用了海倫公式(Heron’s formula)。

驗算文初例子,把 d=3,e=5,f=4 代入上式,得

[ΔABC]
= \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{4}(3^2+5^2+4^2)+3\sqrt{6(3)(1)(2)})
= \frac{25\sqrt{3}}{4}+9

驗算完。

這裡表面上沒有用到 cosine formula,不過海倫公式其實(可以)由 cosine formula 而來。

更一般地,例如 ΔABC 不一定是等邊,而是邊長比例為 a:b:c 者,同樣給定 AP,BP,CP 分別為 d,e,f,情況又如何?再隨便問:六邊形 AFBECD 可以密鋪平面嗎?有興趣想想吧~

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