Quod Erat Demonstrandum

2015/09/09

平行四邊形面積

Filed under: NSS — johnmayhk @ 7:54 下午
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教三角形面積時,問:「底乘高除 2」公式何來?學生答曰:平行四邊形面積之半。似乎學生都有兩個全等三角形拼成一個平行四邊形的概念,於是我叫他們參考下圖,如何證明平行四邊形面積是 bh

一個簡單看法

考慮一個梯形的文件夾(folder),內面放了一張梯形的紙:

把紙從右至左拉出來,見:

易知,拉出來的紙是平行四邊形。

另外,可以想像,有多少面積被拉出來,文件夾就清空了多少面積。而清空了的面積,是長方形面積,即「底乘高」。

於是,拉出來的平行四邊形,面積就是「底乘高」了。

教學現場

在堂上,我當然不會一早踢爆,而是要學生用他們自己方法解釋。看著學生討論,提議,和他們互動,委實難得,叫我感動不已。

不少學生知道,底較闊的平行四邊形,如下:

只要沿上圖虛線「剪開再拼合」,可得底和高分別是 bh 的長方形,如下:

故該平行四邊形面積,即長方形面積,即 bh。但底較窄的平行四邊形,用類似方法「剪開」:

不錯,它可「拼合」成長方形,但其底和高卻不是 bh

不斷沿對角線「剪開」,也不保證可以「拼合」成長方形:

有學生想,斜了的平行四邊形,不過好像斜放的書本,把它放好便可吧。我想像他的意思,見下圖,他應該認為綠色長方形的面積,就是平行四邊形的面積:

這結果是對,問題是如何證明?

於是有學生給以下證明:在平行四邊形的左上角出發,沿垂直線向下「剪開」,到達斜邊,再沿水平線「剪開」,見下:

便可「拼合」成長方形如下:

再在餘下的平行四邊形,用上法,即垂直向下再沿水平「剪開」,必能「拼合」成另一個長方形;若再有餘下的平行四邊形,重覆上法,一直做下去,終能拼出整個綠色長方形,即:

有學生質疑「最後一個」餘下的平行四邊形,不一定如之前的小平行四邊形一樣,可以「拼合」成和之前一樣的小長方形,見下:

但學生回應:冇所謂,用另一個方割法便可,見:

不錯的方法。

另一做法

另一學生指出:因為底較闊的平行四邊形,可用以下方法弄出長方形:

 

那只要把原來的平行四邊形,沿水平分割成若干個(比如 5 個)等高的平行四邊形如下:

這便可以把原本底較窄的平行四邊形(底高分別是 bh),變成底較闊的平行四邊形(底高分別是 5b\frac{h}{5},見圖)。由於底較闊,再可「拼成」底高分別是 5b\frac{h}{5} 的長方形,其面積為

(5b)\times (\frac{h}{5})=bh

這也是不錯的方法。(當然我沒有要求學生談甚麼平移不會改變面積呀,為何分割到若干份可變出底較闊的平行四邊形呀之類的東西。)無論如何,我實在非常感謝學生的參與,希望日後更多這些機會。

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